Iفي نطاق واسع من الحركات، تتغير السرعة من لحظة إلى أخرى. لوصف الطريقة التي يتغير بها، هناك حاجة إلى مفهوم التسارع. قد تتغير سرعة جسم متحرك بعدة طرق. على سبيل المثال، قد يزيد، كما يحدث عندما يضغط سائق السيارة على دواسة الوقود لتجاوز السيارة التي أمامه. أو قد ينخفض، كما يحدث عندما يستخدم السائق الفرامل للتوقف عند الإشارة الحمراء. وفي كلتا الحالتين، قد يحدث التغير في السرعة خلال فترة زمنية قصيرة أو طويلة. لوصف كيفية تغير سرعة جسم ما خلال فترة زمنية معينة، نقدم الآن فكرة جديدة للتسارع. تشمل أمثلة الأجسام ذات الحركة المتسارعة السيارات التي تزيد سرعتها، والسائقون الذين يستخدمون المكابح، والأجسام المتساقطة، والأشياء التي يتم رميها بشكل مستقيم إلى الأعلى.

هناك العديد من أوجه التشابه بين التسارع والسرعة. كلاهما معدل تغير: التسارع هو المعدل الزمني لتغير السرعة، والسرعة هي المعدل الزمني لتغير الموضع. كل من التسارع والسرعة لها أشكال متوسطة ولحظية. المساحة تحت الرسم البياني للسرعة-الزمن تساوي إزاحة الجسم، والمساحة تحت الرسم البياني للتسارع-الزمن تساوي سرعة الجسم.

النظر في الطائرة أثناء الإقلاع. يركز الانتباه على كيفية تغير سرعة الطائرة على طول المدرج. خلال فترة زمنية منقضية $\Delta t = t_f - t_i$، تتغير السرعة من القيمة الأولية لـ $\vec{v_i}$ إلى السرعة النهائية $\vec{v_f}$. التغيير $\Delta \vec{v}$ في سرعة الطائرة هي سرعتها النهائية مطروحًا منها سرعتها الأولية، إذن $\Delta \vec{v} = \vec{v_f} - \vec{v_i}$ يتم تعريف متوسط ​​التسارع a بالطريقة التالية، لتوفير قياس لمدى تغير السرعة لكل وحدة من الوقت المنقضي.

$$\text{Average acceleration}= \dfrac{\text{Change in velocity}}{\text{Elapsed time}}$$

$$\bar {\vec{a}}= \dfrac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{t_f - t_i}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

وحدة SI لمتوسط ​​السطور: متر الثانية في الدائرة ($\mathrm{m/s^2}$ )

لقد رأينا أن السرعة متجهة (لها مقدار واتجاه)، وبالتالي فإن التسارع هو متجه أيضًا يشير إلى نفس الاتجاه $\Delta \vec{v}$، التغير في السرعة. لكن بالنسبة للحركة ذات البعد الواحد، سنتبع العادة المعتادة، نحتاج فقط إلى استخدام علامة زائد أو ناقص للإشارة إلى اتجاه التسارع بالنسبة لمحور الإحداثيات المختار. (عادة، اليمين هو + اليسار هو -)

تلميحات

• كلمة التباطؤ لها دلالة شعبية مشتركة وهي التباطؤ. ولن نستخدم هذه الكلمة لأنها تخلط بين التعريف الذي قدمناه للعجلة السالبة.
• عندما يكون لمتجهات التسارع والسرعة اتجاهان متعاكسان، يتباطأ الجسم ويقال إنه "يتباطأ".
• التسارع السلبي لا يعني بالضرورة أن الجسم يتباطأ. إذا كان التسارع سالبًا والسرعة سالبة، فإن الجسم يتسارع.
• التسارع يحدث بسبب القوة، القوة والتسارع كلاهما متجهان، والمتجهان في نفس الاتجاه. فمن الأسهل التفكير في تأثير القوة على الجسم بدلاً من التفكير فقط في اتجاه التسارع.

التسارع اللحظي, $\vec{a}$، يمكن تعريفها قياسا على السرعة اللحظية باعتبارها متوسط ​​التسارع خلال فترة زمنية قصيرة متناهية الصغر في لحظة معينة:

$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

هنا $\Delta \vec{v}$ هو التغير الطفيف جدًا في السرعة خلال فترة زمنية قصيرة جدًا $\Delta t$.

(يقترب من الصفر في الحد) ويصبح التسارع المتوسط ​​والتسارع اللحظي متساويين. علاوة على ذلك، في كثير من الحالات يكون التسارع ثابتًا، وبالتالي فإن التسارع له نفس القيمة في أي لحظة من الزمن.

تلميحات

• في المستقبل، سوف نستخدم كلمة التسارع لتعني "التسارع اللحظي".
• في الحركة أحادية البعد، يساوي تسارع الجسيم المشتق الثاني لموضع الجسيم x بالنسبة إلى الزمن: $$\vec{a_x} = \dfrac{d \vec{v_x}}{d t}= \dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{d \vec{x}}{d t} \right)= \dfrac{d^2 \vec{x}}{d t^2}$$

خذ بعين الاعتبار الرسوم البيانية التالية للحركة، كيف تصف حركة الشخص في كل حالة؟

أهم شيء يجب ملاحظته في مخططات الحركة هذه هو المسافة بين المواضع المتعاقبة.

• أ. الشخص بلا حراك.
• ب. فهي تتحرك بسرعة ثابتة
• ج. إنها تسرع
• د. إنها تتباطأ

كيف يبدو مخطط الحركة لنموذج الجسيمات بالنسبة لجسم ذو سرعة متغيرة؟ تُظهر الصورة التالية الرسوم البيانية لحركة نموذج الجسيمات أسفل الرسوم البيانية لحركة العداء الذي يتسارع ويبطئ:

لكي يعطي مخطط الحركة صورة كاملة لحركة الجسم، يجب أن يحتوي أيضًا على معلومات حول التسارع. ويمكن القيام بذلك عن طريق تضمين متوسط ​​متجهات التسارع. ستشير هذه المتجهات إلى كيفية تغير السرعة. هناك مؤشران رئيسيان للتغير في السرعة في هذا الشكل من مخططات الحركة. يشير التغير في المسافات بين النقاط والاختلافات في أطوال متجهات السرعة إلى التغيرات في السرعة. إذا تسارع جسم ما، فإن كل متجه سرعة لاحق يكون أطول. إذا تباطأ الكائن، فإن كل متجه يكون أقصر من الذي قبله.

لتحديد طول واتجاه متجه تسارع متوسط، اطرح متجهي سرعة متتاليين، كما هو موضح في مخطط الحركة التالي الذي يوضح جسمًا يتحرك في الاتجاه الإيجابي ويتسارع:

مثلما كان من المفيد رسم موضع متغير مقابل الزمن، فمن المفيد أيضًا رسم سرعة جسم ما مقابل الزمن، وهو ما يسمى الرسم البياني للسرعة-الزمن، أو الرسم البياني v-t. على سبيل المثال، يوضح الجدول التالي بيانات سيارة تبدأ من السكون ثم تزيد سرعتها على امتداد مستقيم من الطريق:

لاحظ أن هذا الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم، مما يعني أن السيارة كانت تتسارع بمعدل ثابت. يمكن إيجاد المعدل الذي تتغير به سرعة السيارة عن طريق حساب ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن. يسمى المعدل الذي تتغير به سرعة الجسم بتسارع الجسم. عندما تتغير سرعة جسم بمعدل ثابت، يكون له تسارع ثابت.

على سبيل المثال، تمثل الرسوم البيانية A وB وC وD وE في الشكل التالي حركات خمسة متسابقين مختلفين:

• أ. منحدرات الرسم البياني (أ) تساوي صفرًا. وبالتالي، فإن التسارع هو صفر (سرعة ثابتة في الاتجاه الإيجابي).
• ب. تشير منحدرات الرسم البياني ب إلى تسارع إيجابي ثابت (زادت السرعة لأنها تظهر سرعة وتسارع إيجابيين).
• C. الرسم البياني C له ميل سلبي. وهذا يعني أن التسارع والسرعة في اتجاهين متعاكسين. (يُظهر الرسم البياني C الحركة التي تبدأ بسرعة موجبة، ثم تتباطأ، ثم تتوقف. والنقطة التي يتقاطع عندها الرسمان البيانيان C وB توضح أن سرعات المتسابقين متساوية عند تلك النقطة. ومع ذلك، فإنه لا يعطي أي معلومات حول مواقع المتسابقين).
• D. ميل الرسم البياني D موجب. نظرًا لأن السرعة والتسارع في اتجاهين متعاكسين، فإن السرعة تتناقص وتساوي صفرًا في الوقت الذي يعبر فيه الرسم البياني المحور. بعد ذلك الوقت، تكون السرعة والتسارع في نفس الاتجاه وتزداد السرعة (يشير الرسم البياني D إلى الحركة التي تبدأ باتجاه الاتجاه السلبي، وتتباطأ، وللحظة تصل إلى سرعة صفر، ثم تنتقل إلى الاتجاه الموجب مع زيادة السرعة).
• E. منحدرات الرسم البياني E هي صفر. وبالتالي، فإن التسارع هو صفر (سرعة ثابتة في الاتجاه السلبي).

 

فيما يلي بعض الأمثلة على التحليل الرسومي للسرعة:

إذا تغير تسارع الجسيم بمرور الوقت، فقد تكون حركته معقدة ويصعب تحليلها. ومع ذلك، فإن النوع الشائع والبسيط جدًا من الحركة أحادية البعد (في خط مستقيم) هو تلك التي يكون فيها التسارع ثابتًا. في هذه الحالة، يكون التسارع اللحظي والتسارع المتوسط ​​متساويين، وتتغير السرعة بنفس المعدل خلال الحركة. يحدث هذا الموقف كثيرًا لدرجة أننا نحدده كنموذج تحليلي. في المناقشة التالية، قمنا بإنشاء عدة معادلات تصف حركة الجسيم لهذا النموذج. لا تتضمن هذه المعادلات مفاهيم جديدة، لأنه سيتم الحصول عليها من خلال الجمع بين الأفكار المألوفة مثل الإزاحة والسرعة والتسارع. ومع ذلك، فإنها ستوفر طريقة مريحة للغاية لتحديد جوانب معينة من الحركة، مثل الموضع النهائي وسرعة الجسم المتحرك.

التدوين في الفيزياء يختلف من كتاب إلى كتاب؛ ويستخدم المعلمون المختلفون رموزًا مختلفة، لتبسيط الأمر قليلًا في مناقشتنا هنا للحركة بتسارع ثابت، نفترض أن الجسم يقع في نقطة الأصل ($\vec{x_i}=0, t_i=0$). علاوة على ذلك، في المعادلات التالية، كما جرت العادة، استغنينا عن استخدام الرموز المكتوبة بخط عريض والمرسومة بأسهم صغيرة لمتجهات الإزاحة والسرعة والتسارع. لكننا سنستمر في نقل اتجاهات هذه المتجهات بعلامة زائد أو ناقص.

وبهذا الافتراض فإن النزوح ($\vec{\Delta x}=\vec{x_f} - \vec{x_i}$) يصبح $\vec{\Delta x}=x$الوقت المنقضي ($\Delta t=t_f - t_i$) يصبح $\Delta t=t$، والسرعة المتوسطة خلال الفترة الزمنية $t$ سوف يكون $\bar{v}=\dfrac{\vec{\Delta x}}{\Delta t}= \dfrac{x}{t}$. النزوح $x$ في الوقت المناسب $t$ يمكن الحصول عليها من السرعة المتوسطة:

$$x=\bar{v} t$$

وبما أن التسارع ثابت، فإن السرعة تزداد بمعدل ثابت. وبالتالي، يمكن الحصول على السرعة المتوسطة في أي فترة زمنية من خلال الوسط الحسابي للسرعة الأولية والسرعة النهائية $\left( \bar{v}=\frac{1}{2} (v_f + v_i) \right)$فإن هذه المعادلة تنطبق فقط إذا كان التسارع ثابتًا ولا يمكن استخدامه عندما يتغير التسارع. النزوح في الوقت المناسب $t$ يمكن الآن تحديدها على النحو التالي:

$$x= \frac{1}{2} (v_f + v_i) t \;\;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\; \textbf{(1)}$$

للحصول على وصف كامل للحركة، من الضروري أيضًا معرفة السرعة النهائية والإزاحة في الوقت المناسب $t$. السرعة النهائية $v_f$ يمكن الحصول عليها مباشرة من معادلة التسارع الثابت $\left( \bar{a}=a=\dfrac{v_f - v_i}{t} \right)$، أو:

$$v_f= v_i + at \;\;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\; \textbf{(2)}$$

لاحظ في المعادلتين (1) و (2) أن هناك خمسة متغيرات حركية:

• $x$ = النزوح
• $a$ = التسارع (ثابت)
• $v_f$ = السرعة النهائية في الزمن $t$
• $v_i$ = السرعة الابتدائية في الزمن $0 s$
• $t$ = الوقت المنقضي منذ ذلك الحين $0 s$

تحتوي كل من المعادلتين على أربعة من هذه المتغيرات، فإذا كانت ثلاثة منها معروفة، فيمكن دائمًا العثور على المتغير الرابع.

وبدمج المعادلتين جبريًا في معادلة واحدة وحذف السرعة النهائية، نجد أن الإزاحة $x$ يكون:

$$x= v_i t + \frac{1}{2} a t^2 \;\;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\; \textbf{(3)}$$

المصطلح الأول($v_i t$) على الجانب الأيمن من هذه المعادلة يمثل الإزاحة التي قد تنتج إذا كان التسارع صفراً وبقيت السرعة ثابتة عند قيمتها الأولية $v_i$. الفصل الدراسي الثاني $\left( \frac{1}{2} a t^2 \right)$ يعطي الإزاحة الإضافية التي تنشأ بسبب تغير السرعة ($a$ ليس صفراً) إلى قيم مختلفة عن قيمته الأولية.

حتى إذا لم يتم تحديد الفاصل الزمني، فلا يزال بإمكاننا حساب الإزاحة. يمكننا حل المعادلة (2) للزمن $t$ثم قم بإجراء هذا الاستبدال في المعادلة (3). والنتيجة هي $\left( x= \dfrac{(v_f^2 -v_i^2)}{2a} \right)$. حل ل $v_f^2$ يعطي:

$$v_f^2= v_i^2 + 2ax \;\;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\; \textbf{(4)}$$

يعرض الجدول التالي ملخصًا للمعادلات التي أخذناها في الاعتبار. تنطبق هذه المعادلات عندما يتحرك جسم بتسارع ثابت على طول خط مستقيم. على افتراض ذلك $x_i = 0 m$ في $t_i = 0 s$، تحتوي كل معادلة على أربعة من المتغيرات الكينماتيكية الخمسة، كما هو مبين بعلامات الاختيار في الجدول:

لقد لاحظ الجميع تأثير الجاذبية لأنها تتسبب في سقوط الأجسام إلى الأسفل. وفي غياب مقاومة الهواء وجد أن جميع الأجسام الموجودة في نفس الموقع فوق الأرض تسقط عموديا بنفس التسارع. علاوة على ذلك، إذا كانت مسافة السقوط صغيرة مقارنة بنصف قطر الأرض، فإن التسارع يظل ثابتًا طوال عملية الهبوط. تُعرف هذه الحركة المثالية، التي يتم فيها إهمال مقاومة الهواء ويكون التسارع ثابتًا تقريبًا، بالسقوط الحر. وبما أن التسارع ثابت في حالة السقوط الحر، فيمكن استخدام معادلات الحركة.

يسمى تسارع الجسم الذي يسقط سقوطًا حرًا تسارع الجاذبية، ويُشار إلى مقداره (بدون أي علامة جبرية) بالرمز $g$. يتم توجيه تسارع الجاذبية نحو الأسفل باتجاه مركز الأرض. بالقرب من سطح الأرض، $g$ هو تقريبا $9.8 \;\mathrm{m/s^2}$. تم تقديم عرض رائع للسقوط الحر على سطح القمر بواسطة رائد الفضاء ديفيد سكوت، حيث أسقط مطرقة وريشة في نفس الوقت من نفس الارتفاع. كلاهما شهدا نفس التسارع بسبب الجاذبية القمرية وبالتالي اصطدما بالأرض في نفس الوقت. إن تسارع الجاذبية بالقرب من سطح القمر يعادل سدس تسارع الجاذبية على الأرض تقريبًا.

عندما يتم تطبيق معادلات الكينماتيكا على حركة السقوط الحر، فمن الطبيعي استخدام الرمز $y$ للإزاحة، حيث أن الحركة تحدث في الاتجاه الرأسي أو $y$ اتجاه.

إن تسارع الجاذبية يكون دائمًا متجهًا لأسفل. فهو يصف كيفية زيادة سرعة الجسم الذي يسقط بحرية إلى الأسفل. ويصف هذا التسارع نفسه أيضًا كيف تنخفض سرعة جسم يتحرك لأعلى تحت تأثير الجاذبية وحدها، وفي هذه الحالة يتوقف الجسم في النهاية مؤقتًا ثم يعود إلى الأرض.

تم تجاوز حد طول الاستعلام. الحد الأقصى المسموح به للاستعلام: 500 حرف