Hهل يمكنك قياس مدى سرعة حركتها؟ باستخدام أجهزة مثل المقياس وساعة التوقيت، يمكنك قياس الموقع والوقت. هل يمكن استخدام هذه المعلومات لوصف معدل الحركة؟

إحدى السمات الأكثر وضوحًا لجسم متحرك هي مدى سرعة حركته. إذا قطعت سيارة مسافة 200 متر في 10 ثوانٍ، نقول إن متوسط ​​سرعتها هو 20 مترًا في الثانية، ومتوسط ​​السرعة هو المسافة المقطوعة مقسومة على الوقت اللازم لقطع المسافة:

$$\text{Average Speed}= \dfrac{\text{Distance}}{\text{Elapsed time}}$$

تشير هذه المعادلة إلى أن وحدة متوسط السرعة هي وحدة المسافة مقسومة على الوحدة للوقت، أو الأمتار في الثانية (م/ث) بوحدات SI.

السرعة فكرة مفيدة، لأنها تشير إلى مدى سرعة تحرك الجسم. ومع ذلك، فإن السرعة لا تكشف أي شيء عن اتجاه الحركة. لوصف مدى سرعة تحرك الجسم واتجاه حركته، نحتاج إلى المفهوم المتجه للسرعة.

لتحديد سرعة جسم ما، سنستخدم مفهومين سبق لنا أن واجهناهما، الإزاحة والزمن. لنفترض أن الموضع الأولي للسيارة هو $\vec{x_i}$ عندما يحين الوقت $t_i$. وبعد ذلك بقليل تصل تلك السيارة إلى الموضع النهائي $\vec{x_f}$ في ذلك الوقت $t_f$. والفرق بين هذه الأوقات هو الوقت الذي تحتاجه السيارة للتنقل بين الموقعين. تقسيم النزوح $\Delta \vec{x}$ السيارة في الوقت المنقضي $\Delta t$ يعطي السرعة المتوسطة للسيارة .

$$\text{Average Velocity}= \dfrac{\text{Displacement}}{\text{Elapsed time}}$$

$$\bar{\vec{v_x}} =\dfrac{ \vec{x_f} - \vec{x_i}}{ t_f - t_i} = \dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$$

حيث يشير الحرف x إلى الحركة على طول المحور x.

This Equation indicates that the unit for average velocity is the unit for length divided by the unit for time, or meters per second (m/s) in SI units.

السرعة المتوسطة هي متجه يشير في نفس اتجاه الإزاحة. وكما هو الحال مع الإزاحة، سنستخدم علامتي الزائد والناقص للإشارة إلى الاتجاهين المحتملين. إذا كانت الإزاحة تشير إلى الاتجاه الموجب (جسيم يتحرك في اتجاه x الموجب نحو قيم x أكبر)، فإن متوسط ​​السرعة يكون موجبًا. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت الإزاحة في الاتجاه السلبي، فإن السرعة المتوسطة تكون سالبة.

 

تلميحات

• في الاستخدام اليومي، مصطلحات السرعة والسرعة قابلة للتبادل. ولكن في الفيزياء، هناك تمييز واضح بين هاتين الكميتين. لنأخذ على سبيل المثال عداءة ماراثون تقطع مسافة d تزيد عن 40 كيلومترًا ومع ذلك ينتهي بها الأمر عند نقطة البداية. إزاحتها الكلية تساوي صفرًا، لذا فإن سرعتها المتوسطة تساوي صفرًا! ومع ذلك، نحن بحاجة إلى أن نكون قادرين على قياس مدى سرعة ركضها.
• إن حجم السرعة المتوسطة ليس هو السرعة المتوسطة.
• إن معرفة السرعة المتوسطة أو السرعة المتوسطة للجسيم لا توفر معلومات حول تفاصيل الرحلة. ربما تكون قد سافرت بسرعات مختلفة أثناء الرحلة وقمت بتغيير الاتجاه. ولا توفر السرعة المتوسطة ولا السرعة المتوسطة معلومات حول هذه التفاصيل.

Suppose the magnitude of your average velocity for a long trip was 20 m/s. This value, being an average, does not convey any information about how fast you were moving or the direction of the motion at any instant during the trip. Both can change from one instant to another. Surely there were times when yowr car traveled faster than 20 m/s and times when it traveled more slowly.

السرعة اللحظية $\vec{v}$ تشير حركة السيارة إلى مدى سرعة تحرك السيارة واتجاه الحركة في كل لحظة من الزمن. يُطلق على حجم السرعة اللحظية اسم السرعة اللحظية، وهو الرقم (مع الوحدات) الذي يشير إليه عداد السرعة (تعطي الشرطة التذاكر بناءً على السرعة اللحظية، ولكن عند حساب المدة التي سيستغرقها الانتقال من مكان إلى آخر في رحلة برية، تحتاج إلى استخدام متوسط ​​السرعة).

But what does it mean to talk about how quickly something is moving if we “freeze time” and talk only about an individual instant? If the time interval has a value of zero, the displacement of the object is also zero, so the average velocity would seem to be 0/0. How do we evaluate that ratio? In the late 1600s, with the invention of calculus, scientists began to understand how to answer that question and describe an object’s motion at any moment in time.

رياضيًا، القيمة الدقيقة للسرعة اللحظية تساوي القيمة الحدية (عملية حسابية) للنسبة $\Delta \vec{x} / \Delta t$ كالفاصل الزمني $\Delta t$ تصبح صغيرة جدًا، تقترب من الصفر:

$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$$

في تدوين حساب التفاضل والتكامل، يسمى هذا الحد مشتق x بالنسبة لـ t عند تلك النقطة، لذلك $\Delta \vec{x}$ و $\Delta t$ تصبح أصغر وأصغر، والنسبة $\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$ يقترب من قيمة تساوي ميل الخط المماس لمنحنى x مقابل t.

يمكن الحصول على السرعة اللحظية في أي نقطة أثناء الرحلة عن طريق قياس الفاصل الزمني $\Delta t$ لكي تسير السيارة إزاحة صغيرة جدًا $\Delta x$. إذا كان الوقت $\Delta t$ صغيرة بما فيه الكفاية، وسرعة لحظية $\vec{v}$ عند نقطة الاهتمام تساوي تقريبًا متوسط ​​السرعة المحسوبة خلال الفترة:

$$\vec{v} \approx \bar{\vec{v}} = \dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} \;\;\; \text{(for sufficiently small $\Delta t$)}$$

 

تلميحات

• للإيجاز، سوف نستخدم كلمة السرعة لتعني "السرعة اللحظية" والسرعة لتعني "السرعة اللحظية".
• حجم السرعة اللحظية هو السرعة اللحظية. في فترة زمنية متناهية الصغر، يكون مقدار الإزاحة مساويًا للمسافة التي يقطعها الجسيم.

 

التقنيات الرسومية مفيدة في فهم المفاهيم. بمساعدة تعريف السرعة السابق لجسم متحرك، فإن ميل الرسم البياني للموضع والزمن يعطي السرعة.

 

إذا كان الجسم يتحرك بسرعة ثابتة، فإن الرسم البياني للموضع مقابل الزمن سيكون خطًا مستقيمًا، وميل هذا الخط هو النسبة $\Delta \vec{x} / \Delta t$وهو ما عرفناه بالسرعة المتوسطة ويساوي السرعة اللحظية.

نادرًا ما تتحرك الأجسام بسرعة ثابتة في جميع الأوقات، إذا كانت سرعة الجسم تتغير باستمرار، فإن الرسم البياني للموضع مقابل الزمن ليس خطًا مستقيمًا، ولكنه منحنى. ويمكننا تفسير السرعة المتوسطة هندسيًا عن طريق رسم خط مستقيم بين أي نقطتين على الرسم البياني للموضع والزمن. ميل هذا الخط هو السرعة المتوسطة. على سبيل المثال، الخط الفاصل بين الموضعين A وB في الشكل التالي له ميل يساوي متوسط ​​سرعة السيارة بين هذين الموضعين $\left( \dfrac{52 \;m - 30 \;m}{ 10 \; s - 0} = 2.2 \;\mathrm{m/s} \right)$.

 

يمكن تحديد السرعة اللحظية في أي لحظة من الزمن عن طريق قياس ميل المنحنى في تلك اللحظة. بدون حساب التفاضل والتكامل، نقوم بتقريب السرعة اللحظية عند نقطة معينة عن طريق وضع حافة مستقيمة على طول الخط المنحني وتقدير ميله. على سبيل المثال، في الشكل التالي يتم رسم خط مماس عند t = 20.0 s. لتحديد ميل خط المماس، يتم إنشاء مثلث باستخدام فترة زمنية تم اختيارها بشكل تعسفي $\Delta t = 5.0 \;s$. التغيير في $x$ المرتبطة بهذا الفاصل الزمني يمكن قراءتها من خط المماس كما $\Delta x = + 26 \;m$. وبالتالي فإن السرعة اللحظية هي $\left( \dfrac{+26 \;m}{ 5 \; s} = +5.2 \;\mathrm{m/s} \right)$.

يمكن التحقق من هذه النتيجة الرسومية لاحقًا باستخدام معادلات الحركية للتسارع المستمر $v_i = 0$ و $t=20 \;s$. لاحظ أنه عندما يكون ميل الرسم البياني للموضع والزمن موجبًا، تكون السرعة اللحظية موجبة ويتحرك الجسم نحو قيم أكبر لـ x.