W عند إجراء العمليات الجبرية، تنطبق قوانين الحساب. تُستخدم الرموز مثل $x$ و$y$ و$z$ عادةً لتمثيل الكميات غير المحددة، والتي تسمى بالمجهولات. تتعامل الفيزياء مع المتغيرات الفيزيائية والعلاقات بينها. عادة، يتم تمثيل المتغيرات بأحرف الأبجدية الإنجليزية واليونانية. في بعض الأحيان، يتم التعبير عن العلاقة بين المتغيرات كتناسب أو تناسب عكسي. ومع ذلك، في أحيان أخرى، يكون من المناسب أو الضروري التعبير عن العلاقة عن طريق معادلة تحكمها قواعد الجبر.

أحد الجوانب المهمة في الفيزياء هو البحث عن العلاقات بين الكميات المختلفة، أي تحديد كيفية تأثير كمية واحدة على كمية أخرى. وكمثال بسيط، وجد القدماء أنه إذا كانت إحدى الدوائر يبلغ قطرها ضعف قطر الدائرة الثانية، فإن الدائرة الأولى لها أيضًا ضعف محيطها. إذا كان القطر أكبر بثلاثة أضعاف، يكون المحيط أيضًا أكبر بثلاثة أضعاف. وبعبارة أخرى، فإن زيادة القطر تؤدي إلى زيادة متناسبة في المحيط. نقول أن المحيط هو متناسب بشكل مباشر إلى القطر. يمكن كتابة ذلك بالرموز $C \propto D$ حيث تعني "$\propto$" "متناسب مع"، ويشير $C$ و$D$ إلى محيط الدائرة وقطرها، على التوالي.

والخطوة التالية هي تغيير هذا التناسب إلى معادلة، مما سيجعل من الممكن ربط الكميتين عدديا. وهذا يعني إدخال أ ثابت التناسب، والذي يتم تحديده في كثير من الحالات عن طريق القياس. لقد وجد القدماء أن نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها هي 3.1416 (للاحتفاظ فقط بالمنازل العشرية القليلة الأولى). يُشار إلى هذا الرقم بالحرف اليوناني $\pi$. وهو ثابت التناسب للعلاقة $C \propto D$. للحصول على معادلة، ندخل $\pi$ في النسبة ونغير $\propto$ إلى =. وهكذا، $C= \pi D$

وتحدث أيضًا أنواع أخرى من التناسب. على سبيل المثال، مساحة الدائرة تتناسب مع مربع نصف قطرها. أي أنه إذا تضاعف نصف القطر، تصبح المساحة أكبر بأربعة أضعاف؛ وهكذا. في هذه الحالة يمكننا كتابة $A \propto r^2$ حيث $A$ تمثل المساحة و$r$ تمثل نصف قطر الدائرة. تم العثور على ثابت التناسب ليكون $\pi$ مرة أخرى، وبالتالي: $A=\pi r^2$.

لاحظ أنه إذا كان $y \propto x$، فحينئذٍ:

$$\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}$$

 

في بعض الأحيان ترتبط كميتان بحيث تؤدي الزيادة في إحداهما إلى نقصان متناسب في الأخرى. وهذا ما يسمى نسبة عكسية. على سبيل المثال، الوقت اللازم للسفر مسافة معينة يتناسب عكسيا مع سرعة السفر. كلما زادت السرعة، قل الوقت المستغرق. يمكننا كتابة هذه النسبة العكسية بالشكل $time \propto \dfrac{1}{speed}$

كلما زاد مقام الكسر، قلت قيمة الكسر ككل. على سبيل المثال، $\frac{1}{4}$ أقل من $\frac{1}{2}$. وبالتالي، إذا تضاعفت السرعة، انخفض الزمن إلى النصف، وهو ما نريد التعبير عنه بعلاقة التناسب العكسية هذه.

لاحظ أنه إذا كان $y \propto \dfrac{1}{x}$، فحينئذٍ:

$$\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_2}{x_1}$$

 

إذا كنت تشك في وجود علاقة بين كميتين أو أكثر، يمكنك محاولة تحديد الطبيعة الدقيقة لهذه العلاقة عن طريق تغيير إحدى الكميتين وقياس كيفية تغير الأخرى نتيجة لذلك. في بعض الأحيان تتأثر كمية معينة بكميتين أو أكثر؛ على سبيل المثال، يرتبط تسارع الجسم بكتلته والقوة المطبقة عليه. في مثل هذه الحالة، تتغير كمية واحدة فقط في المرة الواحدة، بينما تبقى الكمية الأخرى ثابتة.

عندما تؤثر كمية ما على كمية أخرى، غالبًا ما نستخدم عبارة "دالة لـ" للإشارة إلى هذا الاعتماد؛ على سبيل المثال، نقول أن الضغط في الإطار يعتمد على درجة الحرارة.

وأيًا كان نوع التناسب الذي يتم العثور عليه، فيمكن تغييره إلى مساواة من خلال إيجاد ثابت التناسب المناسب. ويمكن بعد ذلك تقديم بيانات أو تنبؤات كمية حول العالم المادي باستخدام المعادلة.

سنبدأ بافتراض أنك فسرت ما اختلافها في التالي:  

يمكنك حل هذه المشكلة لأي منها، إذا كنت تريد معادلة لـ D:    $ D = \dfrac{C \cdot B}{A}$

على الرغم من أن هذا قد يبدو كالسحر، إلا أنه ليس من الضروري أن تكون "خبيرًا في الرياضيات" للقيام بذلك. هناك بعض الخطوات البسيطة التي تساعدك على حل معادلة لأي من المتغيرات (الحروف التي تمثل العنصر أو الكمية محل الاهتمام).

 

من المحتمل أنك تعلمت عددًا من قواعد معالجة المعادلات في دورة الجبر السابقة. لا يضر أبدًا تذكير أنفسنا بالقواعد. لذلك دعونا نراجع:

• القاعدة رقم 1: يمكنك تغيير الجناح الأيسر كلانسي  جزء محدود على سبيل المثال إذا كنت تريد حل المعادلة أعلاه لـ D، فإن الخطوة الأولى هي وضع D على اليسار:
  $ A \cdot B = \dfrac{C}{D} \;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\;\;\; \dfrac{C}{D} = A \cdot B \\$

• القاعدة رقم 2: يمكنك تبديل كل ما هو أعلى مع كل ما هو أسفل المعادلة, على سبيل المثال، المعادلة من القاعدة رقم 1، الخطوة الثانية هي وضع D على البسط:
  $ \dfrac{C}{D} = A \cdot B \;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\;\;\; \dfrac{D}{C} = \dfrac{1}{A \cdot B}$
  (إذا لم يكن هناك بسط أو مقام، يمكننا وضع 1 عليه)
  $\\ \\$

• القاعدة رقم 3: يمكنك الجمع والطرح والضرب والقسمة على أي شيء.طالما أنك تفعل الشيء نفسه على جانبي علامة المساواة. لذلك لحريك أو إلغاء التنوع أو التنوع في أحد المبدعين، ويرغب في تنفيذ "العكسي" أمام اتجاه الأفكار. على سبيل المثال، المعادلة من القاعدة رقم 2، الخطوة الأخيرة هي التخلص من C في المقام، لذا اضرب طرفي علامة التساوي بـ C:
  $ \dfrac{D}{C} = \dfrac{1}{A \cdot B} \;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\;\;\; D = \dfrac{C}{A \cdot B} $

 

المثال رقم 1: حل هذه المعادلة لـ B

$ A \cdot B = \dfrac{C}{D} \;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\;\;\; B = \dfrac{C}{D \cdot A} \;\;\;\;\;\;\;\; \text{(RULE #3)} $

 

المثال رقم 2: حل هذه المعادلة لـ D

$ A = \dfrac{C}{D^2} +E \;\; \rightarrow \;\; A - E = \dfrac{C}{D^2} \;\; \text{(RULE #3)} \;\; \rightarrow \;\; \dfrac{1}{A - E} = \dfrac{D^2}{C} \;\; \text{(RULE #2)} \\$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\; \dfrac{D^2}{C} = \dfrac{1}{A - E} \;\; \text{(RULE #1)} \;\; \rightarrow \;\; D^2 = \dfrac{C}{A - E} \;\; \text{(RULE #3)} \;\; \rightarrow \;\; D = \sqrt{\dfrac{C}{A - E}} \;\; \text{(RULE #3)} $

تمارين

بمساعدة قواعد إعادة ترتيب المعادلات السابقة، حل التمارين التالية لـ $x$:

• $a=\dfrac{1}{1+x}$    الحل

  الحل

  $x=\dfrac{1-a}{a}$
• $3x-5=13$    الحل

  الحل

  $x=6$
• $ax-5=bx+2$    الحل

  الحل

  $x=\dfrac{7}{a-b}$
• $\dfrac{5}{2x+6} = \dfrac{3}{4x+8}$    الحل

  الحل

  $x=-\dfrac{11}{7}$

بعض المتغيرات في المعادلة عادة ما يكون لها قيم معروفة، والبعض الآخر لا. غالبًا ما يكون من الضروري حل المعادلة بحيث يتم التعبير عن المتغير الذي تكون قيمته غير معروفة بدلالة الكميات المعروفة. بعض الصيغ المفيدة لحل المعادلة هي التالية.

الكسور

$\left( \dfrac{a}{b} \right)\left( \dfrac{c}{d} \right)= \dfrac{ac}{bd} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Multiplying} \\$

$\dfrac{a/b}{c/d} = \dfrac{ad}{bc} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{1}{1/a} = a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Dividing} \\$

$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Adding}$

التخصيم

$ax+ay+az = a(x+y+z) \;\;\;\;\;\;\;\; \text{common factor}$

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{perfect square}$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{differences of squares}$

 

المعادلات الخطية

المعادلة الخطية لها الصيغة العامة: $y=mx+b$ حيث $m$ و$b$ ثوابت.

يشار إلى هذه المعادلة بالخطية لأن الرسم البياني لـ $y$ مقابل $x$ هو خط مستقيم كما هو موضح في الشكل.

الثابت $b$، يسمى تقاطع y، يمثل قيمة $y$ التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع المحور $y$.

الثابت $m$ يساوي المنحدر من الخط المستقيم. إذا تم تحديد أي نقطتين على الخط المستقيم بالإحداثيات $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ كما ترى في الشكل أعلاه، فيمكن التعبير عن ميل الخط المستقيم على النحو التالي:

$$\text{Slope}=\dfrac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$

لاحظ أن $m$ و$b$ يمكن أن يكون لهما قيم موجبة أو سالبة. إذا كان $m > 0$، فإن الخط المستقيم له ميل موجب. إذا $m < 0$، فإن الخط المستقيم له ميل سلبي. في الشكل أعلاه، يكون كل من $m$ و$b$ إيجابيين. تظهر ثلاث حالات محتملة أخرى في الشكل.

لاحظ أن التناسب هو حالة خاصة من الخطية. إذا قلنا أن $y \propto x$، فهذا يعني أن $y=ax$، حيث $a$ ثابت. الرسم البياني لهذه العلاقة التناسبية هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل وميله يساوي:

$$a=\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$$

 

المعادلات الخطية المتزامنة

عندما يكون هناك أكثر من متغير واحد في معادلة واحدة غير معروف، تكون هناك حاجة إلى معادلات إضافية إذا أردنا إيجاد حلول لجميع الكميات غير المعروفة. وبالتالي، لا يمكن حل المعادلة $3x + 2y = 7$ بمفردها لإعطاء قيم فريدة لكل من $x$ و$y$. مثل هذه المعادلة ليس لها حل فريد. على سبيل المثال، $(x = 0, y = 3.5)$ و$(x = 5, y = -4)$ و$(x = 2, y = \frac{1}{2})$ كلها حلول لهذه المعادلة. ومع ذلك، إذا كان $x$ و$y$ أيضًا (أي في نفس الوقت) يتبعان المعادلة $x − 3y = 6$، فيمكن العثور على كلا المجهولين. بشكل عام، إذا كانت المشكلة تحتوي على $n$ مجهولة، فإن حلها يتطلب معادلات $n$.

هناك عدد من الطرق التي يمكن من خلالها حل هذه المعادلات المتزامنة. تتمثل إحدى الطرق في حل معادلة واحدة لـ $x$ بدلالة $y$ واستبدال النتيجة في المعادلة الأخرى للحصول على تعبير يحتوي فقط على متغير واحد غير معروف $y$.

المعادلة $x − 3y = 6$، على سبيل المثال، يمكن حلها لـ $x$ بإضافة $3y$ إلى كل طرف، وتكون النتيجة $x = 6 + 3y$. استبدال هذا التعبير بـ $x$ في المعادلة $3x + 2y = 7$ موضح أدناه:

$$3x+2y=7 \\ 3(6+3y) +2y =7 \\ 18+9y+2y=7$$

نجد إذن أن $y=-1$. يمكن استبدال قيمة $y$ في أي من المعادلات الأصلية للحصول على قيمة $x$ ($x=3$).

وفي بعض الحالات، قد تكون المعلومتان معادلة واحدة وشرطًا على الحلول. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا المعادلة $m = 3n$ والشرط أن يكون $m$ و$n$ أصغر أعداد صحيحة موجبة غير صفرية ممكنة. إذن، المعادلة الفردية لا تسمح بحل فريد، لكن إضافة الشرط يعطينا $n = 1$ و$m = 3$.

يمكن أيضًا حل المعادلات المتزامنة بطريقة رسومية. إذا تم رسم الخطوط المستقيمة المقابلة للمعادلتين في نظام إحداثيات تقليدي، فإن تقاطع الخطين يمثل الحل.

المعادلات التربيعية

تحدث المعادلات في الفيزياء التي تتضمن مربع المتغير. يقال إن مثل هذه المعادلات تربيعية في هذا المتغير، وغالبًا ما يمكن وضعها في النموذج التالي: $ax^2+bx+c=0$ حيث $x$ هي الكمية غير المعروفة و$a$، $b$، و$c$ هي عوامل عددية يشار إليها كمعاملات للمعادلة. هذه المعادلة لها جذرين، تعطى بواسطة:

$$x=\dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

يشير $\pm$ في الصيغة إلى وجود حلين. وإذا $b^2 \geq 4ac$، فالجذور حقيقية.

 

تمارين

بمساعدة قواعد حل المعادلات السابقة، حل المعادلات التالية:

• $x^2+5x+4=0$    الحل

  الحل

  قم بفحص تريجر لكل من احتمالية التبريد: $x_+=-1$ و$x_- = -4$.
• $x^2+2x-3=0$    الحل

  الحل

  قم بفحص تريجر لكل من احتمالية التبريد: $x_+=1$ و$x_- = -3$.
• $2x^2-5x+2=0$    الحل

  الحل

  قم بفحص تريجر لكل من احتمالية التبريد: $x_+=2$ و$x_- = \dfrac{1}{2}$.
• $2x^2-4x-9=0$    الحل

  الحل

  قم بفحص تريجر لكل من احتمالية التبريد: $x_+= 1+ \dfrac{\sqrt{22}}{2}$ و$x_- = 1- \dfrac{\sqrt{22}}{2}$.
• أوجد المنحدرات المستقيمة المستقيمة: $(\text{a})\; y=5x+3 \;\;\;$ $(\text{b})\; y=-2x+4\;\;\;$ $(\text{c})\; y=-3x-6$     الحل

  الحل

  $(\text{a})\; 5\;\;\;$ $(\text{b})\; -2\;\;\;$ $(\text{c})\; -3$.
• أوجد ميل الخطوط المستقيمة التي تمر بالنقاط التالية: $(\text{a})\; (0,-4)$ و$(4,2) \;\;\;$ $(\text{b})\; (0,0)$ و$(2,-5) \;\;\;$ $(\text{c})\; (-5,2)$ و$(4,-2)$     الحل

  الحل

  $(\text{a})\; \dfrac{3}{2}\;\;\;$ $(\text{b}) \; -\dfrac{5}{2}\;\;\;$ $(\text{c})\; -\dfrac{4}{9}$.
• حل الزوجين التاليين من المعادلات الآنية التي تتضمن مجهولين: $x+y=8 \;\;\;\;\;\;$ $x-y=2$     الحل

  الحل

  $x=5,y=3$.
• حل الزوجين التاليين من المعادلات الآنية التي تتضمن مجهولين: $98+T=10a \;\;\;\;\;\;$ $T-49=5a$     الحل

  الحل

  $T=65,a=3.27$.
• حل الزوجين التاليين من المعادلات الآنية التي تتضمن مجهولين: $6x+2y=6 \;\;\;\;\;\;$ $8x-4y=28$     الحل

  الحل

  $x=2,y=-3$.