Iفي مختلف فروع العلوم، يكون من الضروري أحيانًا استخدام الأدوات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، التي اخترعها نيوتن، لوصف الظواهر الفيزيائية. يعد استخدام حساب التفاضل والتكامل أمرًا أساسيًا في معالجة المشكلات المختلفة في الميكانيكا النيوتونية والكهرباء والمغناطيسية.

أولاً، يجب تحديد دالة تربط متغيرًا بمتغير آخر (على سبيل المثال، الموضع كدالة للزمن).

لنفترض أن أحد المتغيرات يسمى $y$ (المتغير التابع) والآخر $x$ (المتغير المستقل). قد تكون لدينا علاقة دالة مثل:

$y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

لو $a, b, c$ و $d$ هي ثوابت محددة $y$ يمكن حسابها لأي قيمة $x$.

نحن نتعامل عادةً مع الوظائف المستمرة، أي تلك التي تتعلق بها $y$ يختلف "بسلسة" مع $x$.

 

مشتق من $y$ بالنسبة إلى $x$ يتم تعريفه على أنه الحد كما $\Delta x$ يقترب من الصفر من منحدرات الأوتار المرسومة بين نقطتين على $y$ عكس $x$ منحنى.

رياضياً نكتب هذا التعريف على النحو التالي:

$$ \dfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{y(x+ \Delta x) - y(x)}{\Delta x}$$

أين $\Delta y = y_2 - y_1$ و $\Delta x = x_2 - x_1$

لكن مفهوم النهايات معقد للغاية، ولا نريد أن نقدمه دون أن نشرحه بشكل حقيقي. لذلك، سوف نقدم المشتقة على أنها ميل التقريب الخطي.

دعونا نحدد المنحدر بشكل أفضل! في حالتنا، الميل هو نسبة تباين قيمة التقريب الخطي للدالة من خلال تباين وسيطة الدالة. الآن، لحساب الميل، علينا أن نأخذ في الاعتبار الاختلاف في $x$. عموما، هناك اختلاف في $x$ ل $\Delta x$ وقد تسبب في اختلاف $y$ ل $\Delta y$. الميل هو نسبة تأثير التباين إلى التباين. وبالتالي فإن ميل التقريب الخطي هو $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. إذن وحدة هذا الميل هي أ $\Delta y$ لكل $\Delta x$. يعني إذا اختلفنا $x$ القيمة بمقدار 1، إذن $y$ سوف تزيد القيمة بقيمة المنحدر.

يسمى ميل التقريب الخطي للدالة بمشتقة الدالة. لكن من المهم ملاحظة أن المشتقة تعتمد على $x$ القيمة حيث نحسبها، لأن التقريب الخطي يعتمد على ذلك $x$ قيمة. ويبين الشكل التالي التقريبات الخطية لمختلف $x$ قيم:

هذا يبدو وكأنه وظيفة، أليس كذلك؟ المشتق هو في الواقع الدالة التي تعين $x$ القيم مع منحدرات التقريبات الخطية. ويمكننا رسم هذه الدالة، تمامًا كما رسمنا الدالة الأصلية. في الواقع، إحدى الطرق المعتادة والجميلة للقيام بذلك هي رسم الدالة على نفس الرسم البياني، ولكن بمقياس رأسي مختلف. في الواقع، على سبيل المثال، يجب أن تتوافق الوحدة مع وحدة المشتقة، كما هو موضح باللون الأزرق في الشكل التالي:

الآن، إذا كانت وظيفتك تحتوي على نموذج صريح، مثل $y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$، ثم هناك صيغ للحصول على شكل صريح للمشتق.

كما ترون في الأشكال السابقة، إذا كان ميل التقريب الخطي موجبًا، فهذا يعني أن الدالة تتزايد بالفعل، والدالة تتزايد محليًا إذا وفقط إذا كانت مشتقتها موجبة. وبالمثل، فإن الدالة تتناقص محليًا فقط إذا كانت مشتقتها سالبة. إذا كانت النقطة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى، فإن مشتقتها لا يمكن أن تكون موجبة ولا سالبة: وبالتالي فإن المشتقة صفر.

تعبير مفيد لنتذكر متى $y(x) = ax^n$ أين $a$ هو ثابت و $n$ هو أي عدد موجب أو سالب (عدد صحيح أو كسر)، هو:

$$\dfrac{dy}{dx} = n a x^{n-1}$$

لو $y(x)$ هي دالة متعددة الحدود أو جبرية $x$، نطبق هذه المعادلة على كل حد في كثيرة الحدود ونأخذها $\dfrac{d \text{[constant]}}{dx} = 0$.

أمثلة:

$\dfrac{d}{dx} \left( a \right) = 0 \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( a x^n \right) = nax^{n-1} \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( e^{ax} \right) = a e^{ax} \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \sin ax \right) = a \cos ax \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \cos ax \right) = - a \sin ax \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \tan ax \right) = a \sec^2 ax \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \cot ax \right) = -a \csc^2 ax \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \sec x \right) = \tan x \sec x \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \csc x \right) = - \cot x \csc x \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \ln ax \right) = \dfrac{1}{x} \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \sin^{-1} ax \right) = \dfrac{a}{ \sqrt{1-a^2 x^2}} \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \cos^{-1} ax \right) = \dfrac{-a}{ \sqrt{1-a^2 x^2}} \\$ $\dfrac{d}{dx} \left( \tan^{-1} ax \right) = \dfrac{a}{1+a^2 x^2} $

• مشتق من منتج وظيفتين

  إذا كانت وظيفة $f(x)$ يتم الحصول عليه بواسطة منتج وظيفتين - على سبيل المثال، $g(x)$ و $h(x)$ - مشتق من $f(x)$ يتم تعريفه على النحو التالي:

  $$\dfrac{d}{dx} f(x) = \dfrac{d}{dx} [g(x) h(x)] = g \dfrac{dh}{dx} + h \dfrac{dg}{dx}$$

• مشتق من مجموع وظيفتين

  إذا كانت وظيفة $f(x)$ يساوي مجموع دالتين، مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات:

  $$\dfrac{d}{dx} f(x) = \dfrac{d}{dx} [g(x) + h(x)] = \dfrac{dg}{dx} + \dfrac{dh}{dx}$$

• قاعدة السلسلة في حساب التفاضل والتكامل

  لو $y = f(x)$ و $x = g(z)$، ثم $\dfrac{dy}{dz}$ يمكن كتابتها كمنتج لمشتقتين:

  $$\dfrac{dy}{dz} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dz} $$

• المشتق الثاني

  المشتق الثاني من $y$ بالنسبة إلى $x$ يتم تعريفه على أنه مشتق من الوظيفة $\dfrac{dy}{dx}$ (مشتق المشتق). وعادة ما يتم كتابتها على النحو التالي:

  $$\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)$$