في بعض الأحيان ننتهي بكمية بالشكل $(1+x)^n$، أي أن الكمية $(1+x)$ مرفوعة إلى الأس n. يمكن كتابة هذا كمجموع لا نهائي من المصطلحات المعروفة باسم التوسع:

$(1+x)^n = 1 + nx +\dfrac{n(n-1)}{2} x^2 + ....$

هذه الصيغة مفيدة لنا بشكل رئيسي عندما يكون $x$ صغيرًا جدًا مقارنة بواحد $(x \ll 1)$. وفي هذه الحالة، يكون كل حد متتالي أصغر بكثير من الحد السابق.

على سبيل المثال، دع $x=0.01$ و$n=2$. فحيث أن الحد الأول يساوي 1، والحد الثاني هو $nx=(2)(0.01)=0.02$، والحد الثالث هو $\dfrac{n(n-1)}{2} x^2 = \dfrac{(2)(1)}{2} (0.01)^2=0.0001$ وهكذا.

وبالتالي، عندما يكون $x$ صغيرًا، يمكننا تجاهل الكل باستثناء أول حدين (أو ثلاثة) ويمكننا كتابة:

$$(1+x)^n \approx 1+nx$$

غالبًا ما يسمح لنا هذا التقريب بحل معادلة بسهولة قد تكون صعبة للغاية.

---

بعض توسعات السلسلة

$(1+x)^n = 1 + nx + \dfrac{n(n-1)}{2!} x^2 + ....\\$

$(a+b)^n = a^n + \dfrac{n}{1!} a^{n-1} b + \dfrac{n(n-1)}{2!} a^{n-2} b^2 + ....\\$

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + ....\\$

$\ln (1 \pm x) = \pm x - \dfrac{1}{2} x^2 \pm \dfrac{1}{3} x^3 - ....$

 

بالنسبة لـ x بالراديان:

$\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - ....\\$

$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - ....\\$

$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + .... \;\;\;\; |x| < \dfrac{\pi}{2}$

---

بعض التقريبات المفيدة

ل$(x \ll 1)$:

$(1+x)^n \approx 1+nx$

$e^x \approx 1 + x$

$\ln (1 \pm x) \approx \pm x$

 

بالنسبة إلى $(x \leq 0.1 \;\mathrm{rad})$ [small-angle approximation]:

$\sin x \approx x$

$\cos x \approx 1$

$\tan x \approx x$

يعد تقريب الزاوية الصغيرة ممتازًا لـ $x<5^o=0.1 \;\mathrm{rad}$ ومقبولًا بشكل عام حتى $x=10^o$.

 

لذلك، دعونا نقيم $\sqrt{1.02}$:

$\sqrt{1.02}=(1.02)^{\frac{1}{2}}=(1+0.02)^{\frac{1}{2}} \approx 1+ \frac{1}{2} (0.02)=1.01 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (x=0.02)$.

يمكنك التحقق من هذه النتيجة باستخدام الآلة الحاسبة.