عندما نكتب $10^4$ فإننا نعني أنك تضرب 10 في نفسه أربع مرات: $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$.

يُطلق على الرقم 4 المرتفع اسم الأس، ويقال إن الرقم 10 مرفوع إلى القوة الرابعة. يمكن رفع أي رقم أو رمز إلى قوة. يتم استخدام الأسماء الخاصة عندما يكون الأس هو 2 ($B^2$ هو "مربع") أو 3 ($B^3$ هو "مكعب"). بالنسبة لأي قوة أخرى، نقول إن $B^n$ هو "B أس n".

إذا كان الأس هو 1، فسيتم إسقاطه عادةً: $B^1 = B$ نظرًا لعدم إجراء أي عملية ضرب.

 

ترتبط اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا بالأسس. لاحظ أنه من الممكن التعبير عن أي رقم $y$ كرقم آخر $B$ مرفوعاً إلى الأس $x$، ويسمى الأس $x$ لوغاريتم الرقم $y$ للأساس $B$:

$$\text{if} \;\;\;\; y=B^x , \;\;\;\;\text{then}\;\;\;\; x=\log_{B} y$$

ومن الناحية العملية، عادة ما يتم استخدام أحد الاختيارين للرقم الأساسي. إذا كان $B = 10$، فإن اللوغاريتم يُعرف باسم اللوغاريتم المشترك، والذي ينطبق عليه الرمز "$\log$":

$$\text{if} \;\;\;\; y=10^x , \;\;\;\text{then}\;\;\;\; x=\log y$$

إذا كان $B = e = 2.718 …$ (عددًا طبيعيًا)، تتم الإشارة إلى اللوغاريتم باللوغاريتم الطبيعي، ويتم استخدام الرمز "$\ln$":

$$\text{if} \;\;\;\; y=e^x , \;\;\;\;\text{then}\;\;\;\; x=\ln y$$

بالنسبة لأي رقم $y$، يرتبط نوعي اللوغاريتمات بما يلي:

$$\ln y = 2.3026 \log y$$

غالبًا ما يتم توفير كلا النوعين من اللوغاريتمات على الآلات الحاسبة.

---

قواعد الأسس

$x^n x^m = x^{n+m} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ عند ضرب قوى كمية معينة

$x^0 = 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ قوة صفر $(x^n \times x^{-n} = x^0=1)$

$\dfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ عند تقسيم قوى كمية معينة

$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ قوة تمثل كسرًا

$\left( x^n \right)^m = x^{nm} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ أس مرفوع لأس آخر

 

تمارين

بمساعدة قواعد الأسس السابقة، تحقق من المعادلات التالية:

• $3^2 \times 3^3 =243 \\$
• $x^5 \times x^{-8} =x^{-3} \\$
• $\dfrac{x^{10}}{x^{-5}} =x^{15} \\$
• $x^{\frac{1}{3}} =1.709976 \;\; \text{(Use your calculator)} \\ $
• $60^{\frac{1}{4}} =2.783158 \;\; \text{(Use your calculator)} \\$
• $\left( x^4 \right)^3 =x^{12}$

---

قواعد اللوغاريتمات

$\log (ab) = \log a + \log b \\$

$\log \left( \dfrac{a}{b} \right) = \log a - \log b \\$

$\log \left( a^n \right) = n \log a$

 

$\ln e = 1 \\$

$\ln e^a = a \\$

$\ln \left( \dfrac{1}{a} \right) = - \ln a $