T فكر في التكامل باعتباره عكس التمايز.

على سبيل المثال، كانت نتيجة تمييز الدالة $y(x) = ax^3 +bx+c $:

$$f(x) = \dfrac{dy}{dx} = 3 ax^3 +b$$

يمكننا كتابة هذه المعادلة كـ $dy= f(x) dx = (3 ax^3 +b) dx$ والحصول على $y(x)$ عن طريق "جمع" جميع قيم $x$. رياضياً نكتب هذه العملية العكسية بالشكل التالي:

$$y(x) = \int f(x) dx = \int (3 ax^3 +b) dx = ax^3+bx+c$$

حيث $c$ هو ثابت التكامل.

المثال أعلاه للتكامل يسمى التكامل غير المحدد لأن قيمته تعتمد على اختيار $c$. يتم تعريف التكامل العام غير المحدد $I(x)$ على النحو التالي:

$$I(x) = \int f(x) dx$$

حيث $f (x)$ يسمى التكامل و$f(x) = \dfrac{dI(x)}{dx}$.

 

بالنسبة للدالة المستمرة العامة $f(x)$، يمكن تفسير التكامل هندسيًا على أنه المساحة الموجودة أسفل المنحنى التي يحدها $f(x)$ والمحور $x$، بين قيمتين محددتين هما $x$، على سبيل المثال، $x_1$ و$x_2$.

مساحة العنصر الأزرق في الشكل هي تقريبًا $f(x_i)$ $\Delta x_i$. إذا قمنا بجمع كل عناصر المساحة هذه بين $x_1$ و$x_2$ وأخذنا حد هذا المجموع على أنه $\Delta x_i \to 0$، فسنحصل على المساحة الحقيقية أسفل المنحنى الذي يحده $f(x)$ والمحور $x$، بين الحدين $x_1$ و$x_2$:

$$\text{Area}= \lim_{\Delta x_i \to 0} \sum_{i} f(x_i) \Delta x_i =\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx $$

تسمى التكاملات من النوع المحدد في المعادلة أعلاه بالتكاملات المحددة.

 

أحد التكاملات المشتركة التي تنشأ في المواقف العملية له الشكل:

$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \;\;\;\;\;\;\;\;\; (n \neq -1)$

هذه النتيجة واضحة، حيث أن اشتقاق الجانب الأيمن بالنسبة إلى $x$ يعطي $f(x)= x^n$ مباشرة.

فإذا عرفت حدود التكامل يصبح هذا التكامل تكاملا محددا ويكتب:

$\int_{x_1}^{x_2} x^n dx = \left.\begin{matrix} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \end{matrix}\right|_{x_1}^{x_2} = \dfrac{x_2^{n+1} - x_1^{n+1}}{n+1} \;\;\;\;\;\;\;\;\; (n \neq -1)$

 

Useful indefinite integrals

 

Useful definite integrals

تمارين

بمساعدة قواعد التكامل السابقة، قم بتقييم التكامل:

• $\int_{0}^{a} x^2 dx$    الحل

  الحل

  $\dfrac{a^3}{3}$.
• $\int_{3}^{5} x dx$    الحل

  الحل

  8.
• $\int_{0}^{b} x^{\frac{3}{2}} dx$    الحل

  الحل

  $\dfrac{2}{5} b^{\frac{5}{2}}$.

في بعض الأحيان يكون من المفيد تطبيق طريقة التكامل الجزئي (وتسمى أيضًا "التكامل بالأجزاء") لتقييم تكاملات معينة. تستخدم هذه الطريقة الخاصية:

$$\int u dv = uv - \int v du$$

حيث يتم اختيار $u$ و$v$ بعناية وذلك لتقليل التكامل المعقد إلى تكامل أبسط.

في كثير من الحالات، يجب إجراء العديد من التخفيضات. النظر في الوظيفة:

$I(x) = \int x^2 e^x dx$

والتي يمكن تقييمها عن طريق التكامل بالأجزاء مرتين. أولاً، إذا اخترنا $u = x^2$، $v = e^x$، نحصل على:

$\int x^2 e^x dx = \int x^2 d(e^x) = x^2 e^x - 2 \int e^x x dx + c_1$

الآن، في الفصل الثاني، اختر $u=x$، $v=e^x$، مما يعطي:

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 x e^x + 2 \int e^x dx + c_1 \\$ $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x + c_2$

طريقة أخرى مفيدة يجب تذكرها هي طريقة التفاضل المثالي، حيث نبحث عن تغيير في المتغير بحيث يكون تفاضل الدالة هو تفاضل المتغير المستقل الذي يظهر في التكامل. على سبيل المثال، النظر في التكامل:

$I(x) = \int \cos^2 x \sin x dx$

يصبح من السهل تقييم هذا التكامل إذا قمنا بإعادة كتابة التفاضل كـ $d (\cos x) = -\sin x dx$. ويصبح التكامل بالتالي:

$\int \cos^2 x \sin x dx = -\int \cos^2 x d(\cos x)$

إذا قمنا الآن بتغيير المتغيرات، مع ترك $y = \cos x$، نحصل على:

$\int \cos^2 x \sin x dx = - \int y^2 dy = -\dfrac{y^3}{3} + c = - \dfrac{\cos^3 x}{3} +c$