حساب المثلثات - أدوات م ن

حسب التعريف، المثلث القائم هو مثلث يحتوي على زاوية $90^o$.

يتم تعريف الدوال المثلثية لأي زاوية من خلال بناء مثلث قائم حول تلك الزاوية كما هو موضح في الشكل الموجود على اليمين،

مقابل وادج هما طولا الضلعين المقابلين والمجاورين للزاوية $\theta$ وهيب هو طول الوتر.

الدوال المثلثية الأساسية

$\sin \theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$	$\theta = \sin^{-1} \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$
$\cos \theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$	$\theta = \cos^{-1} \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$
$\tan \theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$	$\theta = \tan^{-1} \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$

تنص نظرية فيثاغورس على العلاقة التالية بين أضلاع المثلث القائم الزاوية:

$\text{hyp}^2 = \text{adj}^2 + \text{opp}^2$

$\text{hyp} = \sqrt{\text{adj}^2 + \text{opp}^2}$

عرض الفيديوهات إخفاء الفيديوهات

بعض المتطابقات المثلثية

ومن التعاريف السابقة ونظرية فيثاغورس يتبين أن:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

يتم تعريف وظائف قاطع التمام والقاطع وظل التمام بواسطة:

$\csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}$

$\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$

$\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta}$

فيما يلي بعض الهويات المفيدة بين الدوال المثلثية:

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$	$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$	$\tan 2 \theta = \dfrac{2 \tan \theta }{1- \tan^2 \theta}$
$\sin \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{ \dfrac{1-\cos \theta}{2} }$	$\cos \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{ \dfrac{1+\cos \theta}{2} }$	$\tan \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{ \dfrac{1-\cos \theta}{1+ \cos \theta} }$
$\sin^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1- \cos \theta}{2}$	$\cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1+ \cos \theta}{2}$
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$	$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$	$\tan(A \pm B) = \dfrac{ \tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
$\sin A \pm \sin B = 2 \sin \left( \dfrac{A \pm B}{2} \right) \cos \left( \dfrac{A \mp B}{2} \right)$	$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \cos \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$	$\cos A - \cos B = 2 \sin \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \sin \left( \dfrac{B - A}{2} \right)$

بعض خصائص الدوال المثلثية هي كما يلي:

$\sin (- \theta) =- \sin \theta$	$\cos ( - \theta) = \cos \theta$	$\tan ( - \theta) = -\tan \theta$
$\sin (90^o - \theta) = \cos \theta$	$\cos (90^o - \theta) = \sin \theta$
$\sin (180^o - \theta) = \sin \theta$	$\cos (180^o - \theta) = -\cos \theta$

لأي مثلث

المثلث القائم له زاوية واحدة قياسها 90 درجة. المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان. المثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع متساوية. كل زاوية في المثلث متساوي الأضلاع قياسها 60 درجة.

tri3

مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة: $ \;\;\;\;\; A+B+C = 180^o $
يتشابه مثلثان إذا كانت زاويتهما متساوية. الأضلاع المتقابلة للمثلثات المتشابهة تتناسب مع بعضها البعض: $ \;\;\;\;\; \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$
قانون جيب التمام وقانون الجيب ينطبقان على أي مثلث، وليس المثلث قائم الزاوية فحسب، وهما يربطان الزوايا وأطوال الأضلاع:

$\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{law of sines} \\ $

$c^2 = a^2 + b^2 -2 ab \cos C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{law of cosines}$

تمارين

بمساعدة قواعد حساب المثلثات السابقة، حاول حل الأمثلة التالية:

في مثلث قائم الزاوية، طول الضلعين المتعامدين مع بعضهما البعض هو 5.00 m، و7.00 m. ما هو طول الضلع الثالث؟ الحل

الحل
8.60 م.
في مثلث قائم الزاوية، يبلغ طول الضلعين المتعامدين مع بعضهما البعض 3.00 m، و4.00 m. ما هي ملائكة المثلث؟ الحل

الحل
$90^o,53.1^o \;\text{and} \; 36.9^o$.
مثلث قائم الزاوية طول وتره 3.0 m، وإحدى زواياه هي $30^o$. (أ) ما هو طول الضلع المقابل للزاوية $30^o$؟ (ب) ما هو الجانب المجاور للزاوية $30^o$؟ الحل

الحل
(أ) 1.5 م (ب) 2.6 م.

الدوال المثلثية الأساسية

بعض المتطابقات المثلثية

لأي مثلث

تمارين

الحل

الحل

الحل