Sكمية السعرات الحرارية هي الكمية التي يمكن وصفها برقم واحد (بما في ذلك أي وحدات) يوضح حجمها أو حجمها.

بعض الكميات القياسية الشائعة هي درجة الحرارة (على سبيل المثال، 20 درجة مئوية) والكتلة (على سبيل المثال، 85 كجم).

في حين أن العديد من الكميات في الفيزياء هي كميات قياسية، إلا أن هناك أيضًا الكثير منها ليست كذلك، وبالنسبة لهذه الكميات فإن الحجم لا يحكي سوى جزء من القصة. يتم تحديد كمية المتجه بالكامل بواسطة رقم بوحدة مناسبة (حجم المتجه) بالإضافة إلى الاتجاه.

المتجهات عبارة عن تمثيلات هندسية للحجم والاتجاه ويمكن التعبير عنها بأسهم ذات بعدين أو ثلاثة أبعاد.

تتضمن العديد من جوانب الفيزياء وصفًا لموقع ما في الفضاء.

في البعدين، يتم إنجاز هذا الوصف باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، حيث تتقاطع المحاور المتعامدة عند نقطة محددة على أنها الأصل $O$. الإحداثيات الديكارتية لنقطة في الفضاء، والتي تمثل قيم $x$ و$y$ للنقطة، ويتم التعبير عنها بـ $(x, y)$، تسمى أيضًا بالإحداثيات المستطيلة.

في بعض الأحيان يكون من المناسب أكثر تمثيل نقطة في المستوى بإحداثياتها القطبية للمستوى $(r, \theta)$. في نظام الإحداثيات القطبية هذا، $r$ هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$ و$\theta$ هي الزاوية بين محور ثابت وخط مرسوم من نقطة الأصل إلى النقطة. غالبًا ما يكون المحور الثابت هو المحور $x$ الموجب، وعادةً ما يتم قياس $\theta$ منه عكس اتجاه عقارب الساعة.

لربط $(x, y)$ بـ $(r, \theta)$، بدءًا من الإحداثيات القطبية المستوية لأي نقطة، يمكننا الحصول على الإحداثيات الديكارتية من المثلث القائم في الشكل:

باستخدام المعادلات:

$$x=r \cos \theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; y=r \sin \theta$$

وعلى العكس من ذلك، إذا عرفنا الإحداثيات الديكارتية، فإن الإحداثيات القطبية تعطى بواسطة:

$$\tan \theta = \dfrac{y}{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; r=\sqrt{x^2 +y^2}$$

نستخدم حرفًا عريضًا مع سهم فوق الحرف، مثل $\vec{A}$ لتمثيل المتجه.

يتم كتابة حجم المتجه $\vec{A}$ كـ $\left| \vec{A} \right|$. حجم المتجه له وحدات فيزيائية، مثل متر للإزاحة أو متر في الثانية للسرعة. حجم المتجه يكون دائمًا رقمًا موجبًا.

نحن نمثل المتجه بيانياً على شكل سهم. يتم رسم السهم للإشارة إلى اتجاه كمية المتجه، ويتناسب طول السهم مع حجم كمية المتجه.

يمكن تعريف متجهين بأنهما متساويان إذا كان لهما نفس الحجم وإذا كانا يشيران إلى نفس الاتجاه. على سبيل المثال، جميع المتجهات في الشكل متساوية على الرغم من اختلاف نقاط بدايتها:

تسمح لنا هذه الخاصية بنقل المتجه إلى موضع موازٍ لنفسه في الرسم التخطيطي دون التأثير على المتجه.

إضافة المتجهات

يتم وصف قواعد إضافة المتجهات بشكل ملائم بطريقة رسومية.

لإضافة المتجه $\vec{B}$ إلى المتجه $\vec{A}$، قم أولاً برسم المتجه $\vec{A}$ على ورق الرسم البياني، مع تمثيل مقداره بمقياس طول مناسب، ثم ارسم المتجه $\vec{B}$ إلى نفس المقياس، بحيث يبدأ ذيله من طرف $\vec{A}$. المتجه الناتج $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$ هو المتجه المرسوم من ذيل $\vec{A}$ إلى طرف $\vec{B}$، كما هو موضح في الشكل:

يمكن أيضًا استخدام البناء الهندسي لإضافة أكثر من متجهين، وهذا الشكل في حالة وجود ثلاثة متجهات:

أبسط موقف يحدث عندما تشير المتجهات في نفس الاتجاه، أي عندما تكون على خط مستقيم:

هنا، مع وجود ذيل السهم الثاني على رأس السهم الأول، يتم جمع المتجهين ببساطة للحصول على طول المتجه الإجمالي. هذا النوع من جمع المتجهات مطابق للجمع المألوف لعددين قياسيين (2 + 3 = 5) ويمكن تنفيذه هنا فقط لأن المتجهات تشير إلى نفس الاتجاه.

طرح المتجهات

تستفيد عملية طرح المتجهات من تعريف سالب المتجه. المتجهان $\vec{A}$ و$-\vec{A}$ لهما نفس الحجم ولكنهما يشيران في اتجاهين متعاكسين.

نحدد العملية $\vec{A} - \vec{B}$ على أنها ناقل $- \vec{B}$ مضاف إلى المتجه $\vec{A}$:

$$\vec{A} - \vec{B}= \vec{A} + (- \vec{B})$$

الضرب العددي للمتجهات

إذا تم ضرب المتجه $\vec{A}$ بكمية عددية موجبة $m$، فإن الناتج $m\vec{A}$ هو متجه له نفس الاتجاه مثل $\vec{A}$ والمقدار $mA$.

إذا تم ضرب المتجه $\vec{A}$ بكمية عددية سالبة $-m$، فسيتم توجيه المنتج $-m\vec{A}$ في الاتجاه المعاكس $\vec{A}$.

منتج ناقل

بالنظر إلى أي متجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$، يتم تعريف منتج المتجه $\vec{A} \times \vec{B}$ على أنه متجه ثالث $\vec{C}$، له مقدار $AB \sin \theta$، حيث $\theta$ هي الزاوية بين $\vec{A}$ و$\vec{B}$.

أي أنه إذا تم إعطاء $\vec{C}$ بواسطة $\vec{C}= \vec{A} \times \vec{B}$ فإن حجمه يكون $C=AB \sin \theta$.

الكمية $AB \sin \theta$ تساوي مساحة متوازي الأضلاع المتكون من $\vec{A}$ و$\vec{B}$. اتجاه $\vec{C}$ عمودي على المستوى الذي يشكله $\vec{A}$ و$\vec{B}$، وأفضل طريقة لتحديد هذا الاتجاه هي استخدام قاعدة اليد اليمنى. يتم توجيه أصابع اليد اليمنى الأربعة على طول $\vec{A}$ ثم "ملفوفة" في الاتجاه الذي سيدور $\vec{A}$ إلى $\vec{B}$ من خلال الزاوية $\theta$. اتجاه الإبهام المستقيم هو اتجاه $ \vec{A} \times \vec{B}= \vec{C}$.

المنتج العددي لمتجهين

المنتج العددي هو وسيلة للجمع بين المتجهات التي أثبتت فائدتها في الفيزياء. نكتب حاصل الضرب القياسي لأي متجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$ بالشكل $\vec{A} \cdot \vec{B}$، ويعرف هذا المنتج القياسي بأنه كمية قياسية تساوي حاصل ضرب مقداري المتجهين وجيب تمام الزاوية $\theta$ بينهما:

$$\vec{A} \cdot \vec{B}= AB \cos \theta$$

كما ترون، $B \cos \theta$ هو إسقاط $\vec{B}$ على $\vec{A}$. لذلك، $\vec{A} \cdot \vec{B}$ هو حاصل ضرب مقدار $\vec{A}$ وإسقاط $\vec{B}$ على $\vec{A}$.

لا يُنصح باستخدام الطريقة الرسومية لإضافة المتجهات عندما تكون الدقة العالية مطلوبة أو في المسائل ثلاثية الأبعاد. في هذا القسم، سنصف طريقة لإضافة المتجهات التي تستخدم إسقاطات المتجهات على طول محاور الإحداثيات. وتسمى هذه الإسقاطات بمكونات المتجه أو مكوناته المستطيلة. يمكن وصف أي ناقل بشكل كامل من خلال مكوناته.

خذ بعين الاعتبار متجهًا $\vec{A}$ يقع في المستوى $xy$ ويشكل زاوية اختيارية $\theta$ مع المحور الموجب $x$، يمكن التعبير عن هذا المتجه كمجموع متجهين مكونين آخرين $\vec{A_x}$، الموازي للمحور $x$، و$\vec{A_y}$، الموازي للمحور $y$ المحور. من الشكل نلاحظ أن المتجهات الثلاثة تشكل مثلثًا قائم الزاوية وأن $\vec{A} = \vec{A_x} + \vec{A_x}$:

سنشير غالبًا إلى "مكونات المتجه $\vec{A}$"، المكتوبة $A_x$ و$A_y$ (بدون تدوين المتجهات).

وفي الشكل، انتقل المتجه المكون $\vec{A_y}$ إلى اليسار بحيث يقع على طول المحور $y$:

نرى أن المكون $A_x$ يمثل إسقاط $\vec{A}$ على طول المحور $x$، والمكون $A_y$ يمثل إسقاط $\vec{A}$ على طول المحور $y$. هذه المكونات يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية. يكون المكون $A_x$ موجبًا إذا كان متجه المكون $\vec{A_y}$ يشير إلى الاتجاه الموجب $x$ ويكون سالبًا إذا كان $\vec{A_x}$ يشير إلى الاتجاه السالب $x$. يتم إجراء بيان مماثل للمكون $A_y$.

وبالتالي فإن مكونات $\vec{A}$ هي:

$$A_x = A \cos \theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; A_y = A \sin \theta$$

ولذلك فإن مقدار $\vec{A}$ واتجاهه يرتبطان بمكوناته من خلال العبارات:

$$A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } \;\;\;\;\;\;\;\;\; \theta =\tan^{-1} \left( \dfrac{A_y}{A_x} \right)$$

لاحظ أن إشارات المكونات $A_x$ و$A_y$ تعتمد على الزاوية $\theta$.

عند حل المسائل ذات البعدين، يمكنك تحديد المتجه $\vec{A}$ إما بمكوناته $A_x$ و$A_y$ أو بمقداره واتجاهه $A$ و$\theta$.

غالبًا ما يتم التعبير عن الكميات المتجهة من حيث ناقلات الوحدة. متجه الوحدة هو متجه بلا أبعاد له حجم 1 بالضبط.

تُستخدم متجهات الوحدة لتحديد اتجاه معين وليس لها أي أهمية مادية أخرى. يتم استخدامها فقط كوسيلة لمسك الدفاتر في وصف الاتجاه في الفضاء.

تعتبر "القبعات" أو المنعطفات الموجودة على الرموز بمثابة تدوين قياسي لمتجهات الوحدة. سنستخدم الرموز $\hat{i}$ و$\hat{j}$ و$\hat{k}$ لتمثيل متجهات الوحدة التي تشير إلى الاتجاهات الموجبة $x$ و$y$ و$z$، على التوالي.

حجم كل متجه وحدة يساوي 1؛ أي $\left| \hat{i} \right| = \left| \hat{j} \right| = \left| \hat{k} \right| =1$.

خذ بعين الاعتبار المتجه $\vec{A}$ الموجود في المستوى $xy$ كما هو موضح. حاصل ضرب المكون $A_x$ ومتجه الوحدة $\hat{i}$ هو متجه المكون $\vec{A_x}= A_x \hat{i}$، والذي يقع على المحور $x$ وله مقدار $\left| A_x \right|$. وبالمثل، $\vec{A_y}= A_y \hat{j}$ هو المتجه المكون للقدر $\left| A_y \right|$ الواقع على المحور $y$. لذلك، فإن ترميز وحدة المتجه للمتجه $\vec{A}$ هو:

$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$

متجهات الوحدة لنقطة موصوفة بالإحداثيات القطبية هي متجهات الوحدة الشعاعية والزاوية $\hat{r}$ و$\hat{\theta}$. هذه المتجهات هي أيضًا ذات وحدة طول، ومع ذلك، فإن اتجاهات متجهات الوحدة الشعاعية والزاوية تعتمد على النقطة، كما هو موضح بالنقطة الموجودة في الربع الرابع في الشكل.

إضافة المتجهات

الآن دعونا نرى كيفية استخدام المكونات لإضافة المتجهات عندما لا تكون الطريقة الرسومية دقيقة بما فيه الكفاية. لنفترض أننا نرغب في إضافة المتجه $\vec{B}$ إلى المتجه $\vec{A}$، حيث يحتوي المتجه $\vec{B}$ على مكونات $B_x$ و$B_y$. المتجه الناتج $\vec{R}$ هو:

$\vec{R}=\vec{A} + \vec{B}= (A_x \hat{i} + A_y \hat{j}) + (B_x \hat{i} + B_y \hat{j})= (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j}$

لأن $\vec{R}= R_x \hat{i} + R_y \hat{j}$، نرى أن مكونات المتجه الناتج هي:

$$R_x =A_x + B_x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; R_y =A_y + B_y$$

لذلك، نرى أنه في طريقة المكون لإضافة المتجهات، نقوم بإضافة جميع مكونات $x$ معًا للعثور على مكون $x$ للمتجه الناتج ونستخدم نفس العملية لمكونات $y$.

يتم الحصول على مقدار $\vec{R}$ والزاوية التي تشكلها مع المحور x من مكوناته باستخدام العلاقات:

$$R = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2 }= \sqrt{ (A_x + B_x)^2 + (A_y + B_y)^2 } \;\;\;\;\;\;\;\;\; \theta =\tan^{-1} \left( \dfrac{R_y}{R_x} \right)=\tan^{-1} \left( \dfrac{A_y + B_y}{A_x + B_x} \right)$$

إن توسيع أساليبنا لتشمل المتجهات ثلاثية الأبعاد أمر واضح ومباشر. إذا كان $\vec{A}$ و$\vec{B}$ يحتويان على مكونات $x$ و$y$ و$z$، فإن مجموع $\vec{A}$ و$\vec{A}$ هو:

$\vec{R}= (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j} + (A_z + B_z) \hat{k}$

إذا كان المتجه $\vec{R}$ يحتوي على مكونات $x$ و$y$ و$z$، فإن حجم المتجه هو:

$$R = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2 + R_z^2}$$

الزاوية $\theta_x$ التي يصنعها $\vec{R}$ مع المحور $x$ تم العثور عليها من التعبير:

$$\theta_x =\cos^{-1} \left( \dfrac{R_x}{R} \right)$$

مع تعبيرات مماثلة للزوايا بالنسبة للمحورين $y$ و$z$.

منتج ناقل

من تعريف متجهات الوحدة، تخضع المنتجات المتقاطعة لمتجهات الوحدة للقواعد التالية:

$$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$$

$$\hat{i} \times \hat{j} = -\hat{j} \times \hat{i} = \hat{k}$$

$$\hat{j} \times \hat{k} = -\hat{k} \times \hat{j} = \hat{i}$$

$$\hat{k} \times \hat{i} = -\hat{i} \times \hat{k} = \hat{j}$$

يمكن التعبير عن المنتج الاتجاهي لأي متجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$ برمز وحدة المتجه باستخدام صيغة المحدد التالية:

توسيع هذه المحددات يعطي النتيجة: $$\vec{A} \times \vec{B}= (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k} $$

المنتج العددي لمتجهين

المنتجات العددية لمتجهات الوحدة هي:

$$\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$$

$$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = \hat{j} \cdot \hat{k} = 0$$

يوضح استخدام هذه التعبيرات أن المنتج القياسي لـ $\vec{A}$ و$\vec{B}$ يقلل إلى:

$$\vec{A} \cdot \vec{B}= A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

في الحالة الخاصة $\vec{A} = \vec{B}$، نرى ما يلي:

$$\vec{A} \cdot \vec{A}= A_x^2 + A_y^2 + A_z^2= A^2$$