Tيمكن فهم الحركة ثنائية الأبعاد من خلال تحليل المكونات الأفقية والرأسية للحركة بشكل منفصل. وبعبارة أخرى، فإن حركتي x وy مستقلتان عن بعضهما البعض. يقع استقلال حركتي x وy في قلب الحركة ثنائية الأبعاد. إنها تسمح لنا بمعاملة الحركة ثنائية الأبعاد كحركتين متميزتين أحادية البعد، واحدة للاتجاه x والأخرى للاتجاه y. كل ما تعلمناه عن الحركة في بعد واحد سيتم الآن تطبيقه بشكل منفصل على كل من الاتجاهين.

وللتيسير، نفترض أن الحركة تبدأ من نقطة الأصل (هكذا $x_i=y_i =0$) في الوقت المناسب $t_i =0$، سوف نتعامل مع المكونات الأفقية والرأسية للسرعة اللحظية $\vec{v}$ والتسارع اللحظي $\vec{a}$ بشكل منفصل، واستخدم الإشارات الإيجابية والسلبية للإشارة إلى الاتجاه بدلاً من استخدام التدوين المتجه الكامل للحركة. وبذلك، سنكون قادرين على وصف متغيرات الحركة الخمسة $x$ $(x,v_{x,f}, v_{x,i},a_x,t)$ و $y$ $(y,v_{y,f}, v_{y,i},a_y,t)$ بشكل منفصل ثم قم بجمع هذه الأوصاف معًا لفهم الصورة ثنائية الأبعاد.

نحن الآن نفكر في كيفية ارتباط الملاحظات التي تم إجراؤها في أطر مرجعية مختلفة ببعضها البعض. على سبيل المثال، يوضح الشكل التالي راكبًا يسير باتجاه مقدمة قطار متحرك.

يرى الأشخاص الذين يجلسون على القطار الراكب يسير بسرعة +2.0 م/ث، حيث تشير علامة الجمع إلى الاتجاه إلى اليمين. لنفترض أن القطار يتحرك بسرعة +9.0 م/ث بالنسبة لمراقب يقف على الأرض. ثم يرى المراقب الأرضي الراكب يتحرك بسرعة + 11 م/ث، ويرجع ذلك جزئيًا إلى حركة المشي وجزئيًا إلى حركة القطار. كوسيلة مساعدة في وصف السرعة النسبية، دعونا نحدد الرموز التالية:

$\vec{v_{PT}}$ = سرعة الراكب بالنسبة للقطار = +2.0 م/ث

$\vec{v_{TG}}$ = سرعة القطار بالنسبة للأرض = +9.0 م/ث

$\vec{v_{PG}}$ = سرعة الراكب بالنسبة للأرض = + 11 م/ث

ومن حيث هذه الرموز يمكن تلخيص الوضع أعلاه بما يلي:

$\vec{v_{PG}}= \vec{v_{PT}} + \vec{v_{TG}}$ = 2.0 m/s + 9.0 m/s = + 11.0 m/s

ووفقا للمعادلة المذكورة أعلاه، $\vec{v_{PG}}$ هو مجموع ناقلات $\vec{v_{PT}}$ و $\vec{v_{TG}}$، وهذا المبلغ موضح في الرسم. عندما تكون السرعات على نفس الخط، يكون الجمع أو الطرح البسيط كافيا للحصول على السرعة النسبية. لكن إذا لم يكونا على نفس الخط، فيجب علينا الاستفادة من جمع المتجهات. ونؤكد أنه عند تحديد السرعة، من المهم تحديد الإطار المرجعي. عند تحديد السرعة النسبية، من السهل ارتكاب خطأ عن طريق إضافة أو طرح السرعات الخاطئة. لذلك، من المهم رسم مخطط واستخدام عملية وضع العلامات بعناية. يتم تمييز كل سرعة برمزين: الأول يشير إلى الجسم، والثاني إلى الإطار المرجعي الذي توجد فيه هذه السرعة.

ترتيب الرموز المنخفضة في معادلة السرعة النسبية يتبع نمطًا محددًا. الحرف الأول (P) على الجانب الأيسر من المعادلة هو أيضًا الحرف الأول على الجانب الأيمن من المعادلة. وبالمثل، فإن الحرف المنخفض الأخير (G) على الجانب الأيسر هو أيضًا الحرف الأخير على الجانب الأيمن. يظهر الحرف الثالث (T) فقط على الجانب الأيمن من المعادلة باعتباره الحرفين "الداخليين" (T's).

القواعد المذكورة أعلاه صالحة أيضًا للحركة ثنائية الأبعاد. يوضح الشكل التالي موقفًا شائعًا يتعامل مع السرعة النسبية في بعدين، حيث يتجه القارب مباشرة عبر النهر:

يُظهر الجزء أ من الرسم قاربًا يُحمل باتجاه مجرى النهر بجوار النهر؛ يتم إيقاف تشغيل محرك القارب. في الجزء ب، تم تشغيل المحرك، والآن يتحرك القارب عبر النهر بطريقة قطرية بسبب الحركة المشتركة التي ينتجها التيار والمحرك. توضح القائمة أدناه سرعات هذا النوع من الحركة والأجسام التي يتم قياسها بالنسبة لها:

$\vec{v_{BS}}$ = سرعة القارب بالنسبة للشاطئ.

$\vec{v_{BW}}$ = سرعة القارب بالنسبة للماء (ما ينتجه محرك القارب).

$\vec{v_{WS}}$ = سرعة الماء بالنسبة للشاطئ (تيار النهر).

وبالتالي فإن سرعة القارب بالنسبة إلى الشاطئ هي:

$\vec{v_{BS}}= \vec{v_{BW}} + \vec{v_{WS}}$

هذه المعادلة صالحة بشكل عام ويمكن تمديدها إلى ثلاث سرعات أو أكثر. على سبيل المثال، إذا كان الصياد على القارب يمشي بسرعة $\vec{v_{FB}}$ بالنسبة إلى القارب، فإن سرعته بالنسبة إلى الشاطئ هي $\vec{v_{FS}}= \vec{v_{FB}} + \vec{v_{BW}} + \vec{v_{WS}}$ ستكون المعادلات التي تتضمن السرعة النسبية صحيحة عندما تكون الخطوط الداخلية المتجاورة متطابقة وعندما تتوافق المعادلات الخارجية تمامًا مع الاثنين الموجودين على السرعة على يسار المعادلة. ولكن هذا يعمل فقط مع علامات الزائد (على اليمين)، وليس علامات الطرح.

من المفيد غالبًا أن نتذكر أنه بالنسبة لأي كائنين أو إطارين مرجعيين، A وB، فإن سرعة A بالنسبة إلى B لها نفس المقدار، ولكن في الاتجاه المعاكس، مثل سرعة B بالنسبة إلى A:

$$\vec{v_{BA}}= -\vec{v_{AB}}$$

على سبيل المثال، إذا كان القطار يسير بسرعة 100 كم/ساعة بالنسبة للأرض في اتجاه معين، فإن الأجسام الموجودة على الأرض (مثل الأشجار) تبدو للمراقب في القطار أنها تسير بسرعة 100 كم/ساعة في الاتجاه المعاكس.

دعونا الآن نفكر في الحركة ثنائية الأبعاد التي يظل خلالها تسارع الجسيم ثابتًا من حيث الحجم والاتجاه. وكما سنرى، فإن هذا النهج مفيد لتحليل بعض أنواع الحركة الشائعة.

النزوح

في بعدين، نشير إلى موقعه من خلال متجه موضعه $\vec{r}$ ، متحرك من بعض الأنظمة الإحداثيات الأصلية إلى موقع الجسيم في المستوى xy كما في الشكل التالي، الجسيم عند النقطة A، موصوف بواسطة الموضع $\vec{r_i}$. وفي وقت لاحق، كان عند النقطة B، الموصوفة بواسطة ناقل الموضع $\vec{r_f}$. المسار الذي يتبعه الجسيم من A إلى B ليس بالضرورة خطًا مستقيمًا:

كما تعلمنا في الحركات أحادية البعد، فإن الإزاحة هي متجه، وإزاحة الجسيم هي الفرق بين موضعه النهائي وموضعه الابتدائي. نحن الآن نحدد متجه الإزاحة لجسيم مثل ذلك الموجود في الشكل أعلاه حيث يتم الإشارة إلى الفرق بين متجه موضعه النهائي ومتجه موضعه الأولي واتجاه متجه الإزاحة في الشكل. كما نرى من الشكل، فإن مقدار متجه الإزاحة أقل من المسافة المقطوعة على طول المسار المنحني الذي يتبعه الجسيم.

سرعة

نحن نحدد السرعة المتوسطة $\bar{\vec{v}}$ من الجزيء خلال الفترة الزمنية $\Delta t$ مثل إزاحة الجسيم مقسومة على الفاصل الزمني. ضرب أو قسمة كمية متجهة على كمية سلمية موجبة مثل $\Delta t$ يغير فقط حجم المتجه، وليس اتجاهه. نظرًا لأن الإزاحة هي كمية متجهة والفاصل الزمني هو كمية قياسية موجبة، نستنتج أن السرعة المتوسطة هي كمية متجهة موجهة على طول متجه الإزاحة.

متوسط ​​السرعة بين النقاط لا يعتمد على المسار المتخذ. وذلك لأن السرعة المتوسطة تتناسب طرديًا مع الإزاحة، والتي تعتمد فقط على متجهات الموضع الابتدائية والنهائية، وليس على المسار الذي سلكته. كما هو الحال مع الحركة أحادية البعد، نستنتج أنه إذا بدأ جسيم حركته عند نقطة ما وعاد إلى هذه النقطة عبر أي مسار، فإن سرعته المتوسطة تكون صفرًا في هذه الرحلة لأن إزاحته تساوي صفرًا.

 

السرعة اللحظية $\vec{v}$ يتم تعريفه على أنه الحد الأقصى لمتوسط ​​السرعة $\Delta t$ يقترب من الصفر، وبالتالي فإن متجه السرعة في كل لحظة يكون دائمًا مماسًا للمسار.

ويوضح الشكل التالي أن السرعة اللحظية $\vec{v}$ هو مماس لمسار السيارة. يوضح الرسم أيضًا مكونات المتجه $\vec{v_x}$ و $\vec{v_y}$ السرعة المتجهة الموازية للمحورين x و y على التوالي.

تسريع

عندما يتحرك الجسيم من نقطة إلى أخرى على طول مسار ما، يتغير متجه سرعته اللحظية. ومعرفة السرعة عند هذه النقاط تتيح لنا تحديد متوسط ​​تسارع الجسيم. متوسط ​​التسارع $\bar{\vec{a}}$ يتم تعريف الجسيم على أنه التغير في متجه سرعته اللحظية $\vec{\Delta v}$ مقسوما على الفاصل الزمني $\Delta t$ التي يحدث خلالها هذا التغيير:

لأن التسارع المتوسط ​​هو نسبة الكمية المتجهة $\vec{\Delta v}$ وكمية عددية موجبة $\Delta t$نستنتج أن التسارع المتوسط ​​هو كمية متجهة موجهة على طول $\vec{\Delta v}$ .

 

متوسط ​​التسارع $\bar{\vec{a}}$ يصبح مساوياً للتسارع اللحظي $\vec{a}$ إذا كان التغير في السرعة ثابتا أو كانت الحركة بتسارع ثابت.

لأن تسارع الجسيم يفترض أن يكون ثابتًا في هذه المناقشة، ومكوناته $a_x$ و $a_y$ هي أيضا ثوابت. لذلك، يمكننا نمذجة الجسيم كجسيم تحت تسارع ثابت بشكل مستقل في كل من الاتجاهين وتطبيق معادلات الكينماتيكا بشكل منفصل على مكونات x و y لمتجه السرعة.

 

لفهم كيفية تطبيق الإزاحة والسرعة والتسارع على الحركة ثنائية الأبعاد، فكر في مركبة فضائية مجهزة بمحركين مثبتين بشكل متعامد مع بعضهما البعض. تنتج هذه المحركات القوى الوحيدة التي تواجهها المركبة، ومن المفترض أن تكون المركبة الفضائية عند نقطة الأصل الإحداثية $t_i=0 \;s$:

• 1. المحرك الموجه على طول الاتجاه x هو فقط الذي ينشط، وتتسارع السيارة على طول هذا الاتجاه. من المفترض أن السرعة في الاتجاه y هي صفر، وتبقى صفرًا، نظرًا لأن المحرك y متوقف عن العمل. يتم وصف حركة المركبة الفضائية على طول الاتجاه x بواسطة المتغيرات الحركية الخمسة $x, a_x, v_xf, v_xi,$ ور. إذا كانت المركبة الفضائية لديها تسارع ثابت على طول الاتجاه x، فيمكن استخدام معادلات الحركة. وللتيسير، تمت كتابة هذه المعادلات في العمود الأيسر من الجدول التالي.
• 2. الآن فقط المحرك y هو الذي يعمل، وتتسارع المركبة الفضائية على طول الاتجاه y. يمكن وصف مثل هذه الحركة من حيث المتغيرات الحركية $y, a_y, v_yf, v_yi,$ ور. وإذا كان التسارع على طول اتجاه y ثابتا، فإن هذه المتغيرات ترتبط بمعادلات الكينماتيكا، كما هو مكتوب في العمود الأيمن من الجدول التالي.
• 3. يعمل محركا المركبة الفضائية في نفس الوقت، وتحدث الحركة الناتجة جزئيًا على طول المحور x وجزئيًا على طول المحور y، كما يوضح الشكل. يمنح دفع كل محرك السيارة عنصر تسارع مناسبًا. يقوم المحرك x بتسريع المركبة في الاتجاه x ويسبب تغييرًا في المكون x للسرعة. وبالمثل، يتسبب المحرك y في حدوث تغيير في مكون y للسرعة.

لذا، فإن المكونات الأفقية والرأسية للحركة ثنائية الأبعاد مستقلة تمامًا عن بعضها البعض ويمكن التعامل معها بشكل منفصل، مع الزمن t كمتغير مشترك لكلا المكونين.

نحن هنا ندرس الحركة الانتقالية الأكثر عمومية للأجسام التي تتحرك عبر الهواء في بعدين بالقرب من سطح الأرض، مثل كرة الجولف، وكرة البيسبول المقذوفة أو المضروبة، وكرات القدم، والرصاص المسرع. هذه كلها أمثلة على حركة المقذوفات.

وعلى الرغم من أهمية مقاومة الهواء في كثير من الأحيان، إلا أنه في كثير من الحالات يمكن تجاهل تأثيرها، وسنتجاهلها في التحليل التالي. لن نهتم الآن بالعملية التي يتم من خلالها رمي الجسم أو إسقاطه. نحن لا نأخذ في الاعتبار حركته إلا بعد قذفه، وقبل أن يهبط أو يتم الإمساك به - أي أننا نحلل الجسم المسقط فقط عندما يتحرك بحرية عبر الهواء تحت تأثير الجاذبية وحدها. ومن ثم فإن تسارع الجسم يرجع إلى الجاذبية، التي تؤثر لأسفل بحجمها $g= 9.8 \;\mathrm{m/s^2}$، ونفترض أنها ثابتة.

نحن نعتبر الأجزاء الأفقية والرأسية للحركة بشكل منفصل. وفي الاتجاه الأفقي أو x، لا يتباطأ الجسم المتحرك (القذيفة) في غياب مقاومة الهواء. وبالتالي، تظل المركبة x للسرعة ثابتة عند قيمتها الأولية أو $v_{xi} = v_{xf}$، والمكون x للتسارع هو $a_x= 0 \;\mathrm{m/s^2}$. ومع ذلك، في الاتجاه الرأسي أو y، يتعرض المقذوف لتأثير الجاذبية. ونتيجة لذلك، فإن المكون y للسرعة ليس ثابتًا ويتغير. المكون y للتسارع $a_y$ هو التسارع الهبوطي الناتج عن الجاذبية. إذا كان مسار أو مسار المقذوف قريبًا من سطح الأرض، $a_y$ لديه حجم $9.80 \;\mathrm{m/s^2}$. ثم إن عبارة "الحركة المقذوفة" تعني ذلك $a_x= 0 \;\mathrm{m/s^2}$ ($v_{xi} = v_{xf}=v_x$) و $a_y$ يساوي تسارع الجاذبية $g$.

مسارات تعتمد على المشاهد

لنفترض أنك رميت كرة لأعلى وأمسكتها أثناء ركوب الحافلة. بالنسبة لك، يبدو أن الكرة تتجه للأعلى وللأسفل بشكل مستقيم. ولكن ماذا يمكن للمراقب على الرصيف أن يرى؟ سيرى المراقب الكرة تترك يدك، وترتفع، وتعود إلى يدك، ولكن نظرًا لأن الحافلة ستتحرك، فإن يدك ستتحرك أيضًا. سيكون للحافلة ويدك والكرة نفس السرعة الأفقية. وبالتالي، فإن مسار الكرة سيكون مشابهًا لمسار المقذوفات التي يتم إطلاقها بزاوية.

لتوضيح أن المسار الذي تتبعه أي مقذوف هو قطع مكافئ، نحتاج إلى إيجاد y كدالة لـ x عن طريق الحذف بين معادلتي الحركة الأفقية والرأسية:

$$x=v_x t$$ $$y = v_{yi}t + \frac{1}{2} a_y t^2 = v_{yi}t - \left(\frac{1}{2} g t^2 \right)$$

من المعادلة الأولى لدينا $\left(t=\dfrac{x}{v_x}\right)$ ونستبدله بالثانية لنحصل على:

$$y = \left(\dfrac{v_{yi}}{v_x} \right) x - \left( \dfrac{g}{2 v_x^2} \right) x^2$$

نرى أن y كدالة لـ x لها الشكل $y = A x - B x^2$ حيث A وB ثابتان لأي حركة مقذوفة محددة. هذه هي المعادلة القياسية للقطع المكافئ.

افترض أن قذيفة تم إطلاقها من الأصل عند $t_i = 0 \;s$ ويعود إلى نفس المستوى الأفقي كما هو موضح في الشكل:

هذا الوضع شائع في الألعاب الرياضية، حيث غالبًا ما تهبط كرات البيسبول وكرة القدم وكرات الجولف على نفس المستوى الذي انطلقت منه.

نقطتان في هذه الحركة مثيرة للاهتمام بشكل خاص للتحليل: نقطة الذروة A، التي لها إحداثيات ديكارتية (R/2، h)، والنقطة B، التي لها إحداثيات (R، 0). تسمى المسافة R المدى الأفقي للقذيفة، والمسافة h هي أقصى ارتفاع لها. دعونا نجد h و R رياضيا من حيث $v_i$, $\theta_i$، و $g$.

يمكننا تحديد h من خلال ملاحظة ذلك في الذروة $v_y= 0$. ولذلك، من الجسيم في ظل نموذج التسارع الثابت، يمكننا تحديد الوقت $t_A$ حيث يصل المقذوف إلى ذروته:

$$v_{yf}= v_{yi} + a_y t$$ $$0= v_i \sin \theta_i - gt_A$$ $$ t_A=\dfrac{v_i \sin \theta_i}{g}$$

 

$$y = v_{yi}t + \frac{1}{2} a_y t^2$$ $$h= (v_i \sin \theta_i) \left( \dfrac{v_i \sin \theta_i}{g} \right) - \left(\frac{1}{2} g \left( \dfrac{v_i \sin \theta_i}{g} \right)^2 \right)$$ $$ h= \dfrac{v_i^2 \sin^2 \theta_i}{2g}$$

بسبب تماثل المسار، يغطي المقذوف الجزء العلوي من المسار إلى الأعلى في نفس الفترة الزمنية التي يتطلبها العودة إلى الأرض من أعلى نقطة $t_B = 2t_A$.

ولذلك، فإن المدى R هو الوضع الأفقي للقذيفة في وقت يساوي ضعف الوقت الذي تصل فيه إلى ذروتها. استخدام الجسيم في ظل نموذج السرعة الثابتة:

$$ x_B = v_x t_B$$ $$R= (v_i \cos \theta_i) (2t_A) = (v_i \cos \theta_i) \left( \dfrac{v_i \sin \theta_i}{g} \right)= \dfrac{v_i^2 (2 \sin \theta_i \cos \theta_i)}{g}$$ $$R= \dfrac{v_i^2 \sin 2\theta_i }{g}$$

من المعادلة أعلاه نرى أن القيمة القصوى لـ R هي $R_{max}= \dfrac{v_i^2}{g}$، حدث هذا عندما $\sin 2\theta_i = 1$ (القيمة القصوى)، والذي يحدث عندما $2\theta_i = 90^o$. لذلك، R هو الحد الأقصى عندما $\theta_i = 45^o$.

حتى الآن، تم تجاهل مقاومة الهواء في تحليل حركة المقذوفات. وفي حين أن تأثيرات مقاومة الهواء تكون ضئيلة للغاية بالنسبة لبعض المقذوفات، إلا أن التأثيرات كبيرة ومعقدة بالنسبة للبعض الآخر. على سبيل المثال، تعمل الدمامل الموجودة على كرة الجولف على تقليل مقاومة الهواء وزيادة نطاقها إلى أقصى حد. في لعبة البيسبول، يؤدي دوران الكرة إلى خلق قوى يمكنها حرف الكرة. في الوقت الحالي، تذكر فقط أن القوة الناتجة عن مقاومة الهواء موجودة ويمكن أن تكون مهمة.