T إليك العديد من الأمثلة على الحركة على مسار دائري. ومن بين الاحتمالات العديدة، نفرد تلك التي تنطبق عليها التعريف التالي:

الحركة الدائرية المنتظمة هي حركة جسم يتحرك بسرعة ثابتة (موحدة) على مسار دائري.

 

وكمثال على الحركة الدائرية المنتظمة، فكر في تحريك حجر في نهاية خيط أو حصان ثابت في لعبة دوّامة الخيل. هل هذه الأجسام تتسارع؟ في البداية، قد تعتقد أنها ليست كذلك لأن سرعتها لا تتغير. ومع ذلك، تذكر أن التسارع هو التغير في السرعة، وليس مجرد التغير في السرعة. ونظرًا لأن اتجاه الأجسام يتغير، فلا بد أن تتسارع.

النزوح

أثناء تحرك الجسم حول الدائرة، لا يتغير طول متجه الموضع بالنسبة إلى مركز الدائرة، ولكن اتجاهه يتغير.

 

إزاحة الكائن خلال فترة زمنية هي التغير في الموضع، ويمكن حسابها باستخدام مخطط متجه حيث يتم طرح متجه الموضع في بداية الفاصل الزمني $\vec{r_1}$ ومتجه الموضع في نهاية الفاصل الزمني $\vec{r_2}$ للحصول على الناتج $\vec{\Delta r}$، أي الإزاحة خلال الفاصل الزمني.

 

ملاحظة: $\left | \vec{r_1} \right |=\left | \vec{r_2} \right |=r$

السرعة والسرعة

إزاحة جسم يتحرك بشكل دائري، $\vec{\Delta r}$، مقسومة على الفترة الزمنية $\Delta t$ التي تحدث فيها الإزاحة، هي السرعة المتوسطة للجسم خلال تلك الفترة الزمنية.

$$\bar{\vec{v}}=\dfrac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}$$

متجه السرعة له نفس اتجاه الإزاحة، وبالتالي فإن متجه السرعة ذو الحجم الثابت يكون دائمًا مماسًا لمسار الجسم ومتعامدًا مع نصف قطر المسار الدائري. ومن ثم، فإن اتجاه متجه السرعة يتغير دائمًا مع تحرك الجسم حول الدائرة.

في بعض الأحيان يكون من المناسب وصف الحركة الدائرية المنتظمة من خلال تحديد فترة الحركة، بدلاً من السرعة. الفترة $T$ هي الزمن اللازم للتحرك مرة واحدة حول الدائرة، أي القيام بدورة واحدة كاملة. هناك علاقة بين الدورة والسرعة إذا كان نصف القطر معروفاً، حيث أن السرعة هي المسافة المقطوعة (هنا محيط الدائرة) مقسومة على الزمن:

$$v=\dfrac{2 \pi r}{T}$$

يؤكد تعريف الحركة الدائرية المنتظمة على أن السرعة، أو حجم متجه السرعة، ثابت. ومن المهم بنفس القدر أن اتجاه المتجه ليس ثابتًا.

السرعة الزاوية

نظرًا لأن دورة واحدة كاملة للجسيم حول الدائرة تتوافق مع زاوية $2 \pi$ راديان، فإن $2 \pi$ مقسومًا على فترة الجسم يعطي السرعة الزاوية $\omega$ للجسيم (راديان/ثانية أو $s^{-1}$):

$$\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$$

يمكننا إيجاد علاقة بين السرعة الزاوية والسرعة الانتقالية التي يتحرك بها الجسيم في المسار الدائري عن طريق التعويض $T$ في المعادلة أعلاه:

$$\omega=\dfrac{2 \pi}{\left( \dfrac{2 \pi r}{v} \right)}=\dfrac{v}{r}$$ $$v=\omega r$$

توضح هذه المعادلة أنه بالنسبة للسرعة الزاوية الثابتة، تصبح السرعة الانتقالية أكبر عندما يصبح الموضع الشعاعي أكبر. لذلك، على سبيل المثال، إذا كانت لعبة دوامة الخيل تدور بسرعة زاوية ثابتة $\omega$، فإن الراكب الموجود في موضع خارجي كبير $r$ سوف يسافر عبر الفضاء بشكل أسرع من الراكب الموجود في موضع داخلي عند $r$ الأصغر. سوف نقوم بالتحقيق في هذا بشكل أعمق في الحركة الدورانية.

تسريع

أي تغيير في متجه السرعة، حتى لو كان مجرد تغيير في الاتجاه، يعني حدوث تسارع. إذا كانت متجهات السرعة $\vec{v_1}$ و$\vec{v_2}$ في بداية ونهاية الفترة الزمنية. يتم إيجاد الفرق بين المتجهين $\vec{\Delta v}$ عن طريق طرح المتجهين، كما هو موضح في الشكل:

التغير في السرعة $\vec{\Delta v}$ لجسم يتحرك بشكل دائري، مقسومًا على الفاصل الزمني $\Delta t$ الذي يحدث فيه التغيير، هو متوسط ​​تسارع الجسم خلال تلك الفترة الزمنية:

$$\bar{\vec{a}}=\dfrac{\vec{\Delta v}}{\Delta t}$$

اتجاه التغير في السرعة هو باتجاه مركز الدائرة، وبالتالي يشير متجه التسارع أيضًا إلى مركز الدائرة. يُسمى هذا التسارع بالتحديد "تسارع الجاذبية" لأنه يشير إلى مركز الدائرة.

دعونا الآن نوجد مقدار عجلة الجسيم. خذ بعين الاعتبار الرسم البياني لمتجهات الموضع والسرعة في الشكل التالي:

 

في الشكل، يمكننا تحديد المثلثات التي تساعدنا في تحليل الحركة. الزاوية $\Delta \theta$ بين متجهي الموضع هي نفس الزاوية بين متجهي السرعة لأن متجه السرعة $\vec{v}$ يكون دائمًا متعامدًا مع متجه الموضع $\vec{r}$. وبالتالي فإن المثلثين متشابهان. (يتشابه مثلثان إذا كانت الزاوية بين أي ضلعين هي نفسها لكلا المثلثين وإذا كانت نسبة أطوال هذين الجانبين هي نفسها. $v_i=v_f=v$ و$r_i=r_f=r$) يمكننا الآن كتابة العلاقة بين أطوال أضلاع المثلثين في الشكل:

$$\dfrac{\left | \vec{\Delta v} \right |}{v}=\dfrac{\left | \vec{\Delta r} \right |}{r}$$

$$\left | \vec{\Delta v} \right |=\dfrac{v \left | \vec{\Delta r} \right |}{r}$$

يمكن استبدال هذا التعبير في معادلة التسارع المتوسط:

$$\left | \bar{\vec{a}} \right |=\dfrac{\left | \vec{\Delta v} \right |}{\Delta t}= \dfrac{v \left | \vec{\Delta r} \right |}{r \Delta t}$$

تخيل الآن أن النقطتين A وB في الشكل أعلاه أصبحتا قريبتين للغاية من بعضهما. عندما يقترب A وB من بعضهما البعض، يقترب $\Delta t$ من الصفر، ويقترب $\left | \vec{\Delta r} \right |$ من المسافة التي يقطعها الجسيم على طول المسار الدائري، وتقترب النسبة $\dfrac{ \left | \vec{\Delta r} \right |}{ \Delta t}$ من السرعة $v$. بالإضافة إلى ذلك، يصبح التسارع المتوسط ​​هو التسارع اللحظي عند النقطة A. وبالتالي، في النهاية $\Delta t \to 0$، مقدار التسارع هو:

$$a_c=\dfrac{v^2}{r}$$

يسمى التسارع من هذا النوع بتسارع الجذب المركزي (الجاذب المركزي يعني البحث عن المركز). يذكرنا الرمز السفلي الموجود على رمز التسارع بأن التسارع هو قوة جذب مركزية.

 

يمكننا التعبير عن تسارع الجاذبية لجسيم يتحرك بشكل دائري منتظم بدلالة فترة الجسم، $T$، عن طريق التعويض $v$ في معادلة التسارع المركزي:

$$a_c=\dfrac{ \left( \dfrac{2 \pi r}{T} \right)^2}{r}=\dfrac{4 \pi^2 r}{T^2}$$

 

يمكننا التعبير عن تسارع الجاذبية لجسيم في حركة دائرية منتظمة بدلالة السرعة الزاوية للجسم، $\omega$، عن طريق التعويض $v$ في معادلة التسارع المركزي:

$$a_c=\dfrac{ \left( r \omega \right)^2}{r}=r \omega^2$$